[論文レビュー] On the interior motive of certain Shimura varieties : the case of Picard varieties

Guillaume Cloitre|arXiv (Cornell University)|May 9, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、幾何的モチーフの三角圏におけるワイルドシュアウスの重み回避戦略を適用することで、CM体 $ E $ に関連する PEL 型のシムーラ多様体であるピカード多様体の内部モチーフを構成する。主な結果として、クガ＝サト族の内部コホモロジーを通じて、アーベル形式にHecke同変なモチーフを確立し、その実現は $ p + 2g $ 次元に集中し、自動形式に関連するホッジ構造 $ W(/pi_f) $ に同型である。

ABSTRACT

The aim of this article is the construction of the interior motive of a Picard variety. Those are Shimura varieties of PEL type. Our result is an application of the strategy developed by Wildeshaus to construct a Hecke-invariant motive whose realizations correspond to interior cohomology.

研究の動機と目的

• CM体 $ E $ に関連する PEL 型のシムーラ多様体であるピカード多様体の内部モチーフを構成すること。
• 幾何モチーフの三角圏におけるワイルドシュアウスの重み回避戦略を、ピカード多様体の状況に拡張すること。
• クガ＝サト族の内部コホモロジーを通じて、これらの多様体上の自動形式にモチーフ的対象を関連付けること。
• 構成されたモチーフの実現が、自動形式に関連するホッジ構造 $ W(/pi_f) $ に一致することを確立すること。

提案手法

• 幾何モチーフの三角圏 $ DM_{gm}(k) $ と重み構造を用い、境界モチーフ $ ∂M_{gm}(X) $ の中で重み 0 と -1 を回避することで内部モチーフを特定する。
• クガ＝サト族 $ A^r $ の直接因子に重み回避基準を適用し、問題をホッジ実現における重み条件の検証に還元する。
• モチーフのホッジ実現および $ l $-進実現を用い、内部モチーフをコンパクトなコホモロジー $ H^{2g}_{!}(S, \mu(V_\lambda)) $ に同定し、$ -2g-p $ のシフトを施す。
• サパーの定理を用いて、内部コホモロジーが $ 2g $ 次元でのみ非自明であることを示し、その次元におけるモチーフの構成を可能にする。
• グレーディングの第 0 項 $ Gr_0M_{gm}(\mathcal{A}^r)^{e_\lambda} $ におけるヘッケ代数作用を適用し、最小右イデアルに関連するイデムポテンの像としてモチーフ $ \mathcal{W}(\pi_f) $ を構成する。
• 定理 4.1 によって保証される $ \mathfrak{H}(K,G(\mathbb{A}_f)) \otimes_E Q $-加群 $ H^{2g}_{!}(S(\mathbb{C}), \mu(V_\lambda)) $ の半単純性に依拠し、well-defined なモチーフの存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 $ \lambda $ がどのような条件下で、境界モチーフ $ \partial M_{gm}(A^r)^{e_\lambda} $ が重み 0 と -1 を回避し、内部モチーフの構成が可能になるか。
• RQ2 ピカード多様体上のクガ＝サト族 $ A^r $ の内部モチーフをどのようにHecke同変モチーフとして実現できるか。
• RQ3 構成されたモチーフの実現の正確なコホモロジー次元とホッジ構造は何か。
• RQ4 内部コホモロジーの $ \mathfrak{H}(K,G(\mathbb{A}_f)) \otimes_E Q $-加群は半単純か。その性質はモチーフの構成にどのように影響するか。
• RQ5 モチーフ $ \mathcal{W}(\pi_f) $ は、内部モチーフの $ e_\lambda $-同型成分に関連するグローテンディークモチーフの商として定義可能か。

主な発見

• 特性 $ \lambda $ が正則である限り、境界モチーフにおける重み回避によって、ピカード多様体 $ S $ 上のクガ＝サト族 $ A^r $ の内部モチーフが構成可能である。
• 内部モチーフ $ \mathcal{W}(\pi_f) $ の実現は、コホモロジー次元 $ p + 2g $ に集中し、ホッジ実現は $ H^{2g}_{!}(S(\mathbb{C}), \mu(V_\lambda))[-2g-p] $ に同型である。
• $ l $-進実現は $ H^{2g}_{!}(S_{\overline{E}}, \mu_l(V_\lambda))[-2g-p] $ に同型であり、実現間の整合性が確認される。
• 定理 4.1 により、$ \mathfrak{H}(K,G(\mathbb{A}_f)) \otimes_E Q $-加群 $ H^{2g}_{!}(S(\mathbb{C}), \mu(V_\lambda)) $ は半単純であり、単純成分への明確な分解の存在を保証する。
• モチーフ $ \mathcal{W}(\pi_f) $ は、グローテンディークモチーフ $ Gr_0(M_{gm}(\mathcal{A}^r)^{e_\lambda})' $ にイデムポテン $ e_{\pi_f} $ を作用させることで得られ、Hecke同変な対象が得られる。
• ホッジ構造 $ W(\pi_f) $ は、$ H^{2g}_{!}(S(\mathbb{C}), \mu(V_\lambda)) \otimes_{\overline{E}} Q $ の $ e_{\pi_f} $-成分として特定され、モチーフの幾何的起源が裏付けられる。