[論文レビュー] On the intermediate dimensions of concentric spheres and related sets

Justin T. Tan|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$ℝ^d$ 内の同心球や、それに類する集合（例：減衰するトポロジストのサイン曲線）の途中次元を、直径が $[\delta, \delta^\theta]$ の被覆を分析することで計算する。途中次元の正確な公式を確立し、$p = 1/(d-1)$ で段階的転移を示し、特定のパrameter領域において $\theta = 0$ での連続性を示している。

ABSTRACT

The intermediate dimensions are a family of dimensions introduced in 2019 by Falconer, Fraser, and Kempton [arXiv:1811.06493] to interpolate between the Hausdorff dimension and the box dimension. To date, there are limited examples of explicit calculations of the intermediate dimensions of interesting sets. We calculate the intermediate dimensions of sets of concentric spheres converging to the origin in Euclidean spaces. We also consider related sets including isolated points on concentric spheres and attenuated topologist's sine curves.

研究の動機と目的

• 原点に収束する同心球からなる集合の途中次元を計算すること。
• 孤立した点を球面上に持つ集合や減衰するトポロジストのサイン曲線を含む関連集合の途中次元の振る舞いを分析すること。
• 途中次元が $\theta = 0$ で連続となる条件を特定すること、特に集合の幾何構造との関係を明らかにすること。

提案手法

• 直径が $[\delta, \delta^\theta]$ の被覆を用いた上および下の $\theta$-途中次元の定義を利用する。
• 二進被覆戦略を適用し、半径のしきい値に基づいて集合を二進アンヌラスに分割する。
• 球面上および減衰する曲線上のハウスドルフ測度の推定値を用い、$s$-次元の直径の和を評価する。
• 積分推定値と幾何的近似を用いて、被覆集合の数とそのサイズの漸近的上限を導出する。
• 被覆集合の直径の $|U|^s$ の和が任意に小さくできるような $s$ の下限を求めるために、$\delta \to 0^+$ における次元式の振る舞いを分析する。
• 減衰曲線の包絡関数に異なる関数を適用し、包絡関数の減衰率に基づいて次元公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半径が $n^{-p}$ である $\mathbb{R}^d$ 内の同心球の和集合の途中次元の正確な値は何か？
• RQ2 このような集合の途中次元はパrameter $p$ と次元 $d$ にどのように依存するか？
• RQ3 これらの集合について、途中次元が $\theta = 0$ で連続となる条件は何か？
• RQ4 減衰するトポロジストのサイン曲線は、標準的な曲線と比較して途中次元にどのように影響を与えるか？
• RQ5 包絡関数の異なる減衰率が途中次元に与える影響は何か？

主な発見

• $p \geq 1/(d-1)$ の場合、$C_p^d$ の途中次元はすべての $\theta \in [0,1]$ に対して一定の $d-1$ に等しい。
• $0 < p < 1/(d-1)$ の場合、途中次元は $\frac{dp(d-1) + d\theta(1 - p(d-1))}{dp + \theta(1 - p(d-1))}$ で与えられ、$\theta=0$ と $\theta=1$ で両方とも $d-1$ に値をとり、$\theta$ に非自明に依存する。
• $p < 1/(d-1)$ の場合、途中次元は $\theta = 0$ で連続であるが、$p \geq 1/(d-1)$ の場合、次元式における段階的転移のため連続でない。
• 包絡関数 $g(x) = x^q$ を持つ減衰するトポロジストのサイン曲線について、$pq < 1$ のとき途中次元は $\frac{p(1+q) + 2\theta(1 - pq)}{p(1+q) + \theta(1 - pq)}$ に等しく、$q \to 0^+$ のとき 1 に収束する。
• 包絡関数が任意の多項式より速く減衰する場合（例：$e^{-1/x}$）、途中次元は 1 に等しい。一方、遅く減衰する場合（例：$1/(-\log x)$）、途中次元は $1 + \frac{\theta}{\theta + p}$ のままである。
• 減衰曲線 $\{(x, x^q \sin(\pi x^{-1})) : 0 < x \leq 1\}$ の途中次元は、$q \geq 1/p$ のとき $1 + \frac{\theta}{\theta + p}$ に等しく、遅い減衰が次元の増加を保っていることが示された。