[論文レビュー] On the interplay between measurable and topological dynamics

Eli Glasner, Bernard Weiss|ArXiv.org|Aug 24, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 77被引用数 77

ひとこと要約

この論文は、可測（エルゴード的）な動的系と位相的動的系の間の深い類似性と対比を調査し、再帰性、混合性、距離性、エントロピー、構造定理に焦点を当てる。厳密にエルゴード的で、Kroneckerでない系が位相的距離的系としてモデル化できないこと、およびゼロエントロピーのエルゴード的系が平均距離的系の因子として生じ得ることを示し、位相的性質と測度論的性質の間の重要な相違を強調している。

ABSTRACT

This article reviews a generous sampling of both classical and more recent results on the interplay between measurable and topological dynamics. In the first part we have surveyed the strong analogies between ergodic theory and topological dynamics as shown in the treatment of recurrence phenomena, equicontinuity and weak mixing, distality and entropy. The prototypical result of the second part is the statement that any abstract measure probability preserving system can be represented as a continuous transformation of a compact space, and thus in some sense ergodic theory embeds into topological dynamics. The work also contains several new results. In particular (1) we prove, for a Polish dynamical system, the equivalence of the existence of a Borel cross-section with the coincidence of recurrence and periodicity; and (2) for compact dynamical systems we provide a converse to the local variational principle.

研究の動機と目的

• 可測的動的系と位相的動的系の構造的類似性と相違を調査すること。
• 再帰性、混合性、距離性、エントロピーといった位相的および測度論的概念の関係を明確にすること。
• 厳密にエルゴード的で、Kroneckerでない系が位相的距離的系として表現可能かどうかを特定すること。
• 特にゼロエントロピー系において、因子写像下でのタイトネスおよび平均距離性の振る舞いを調べること。
• ゼロエントロピーのエルゴード的因子を有する平均距離的系の存在を確立すること。

提案手法

• 再帰性、弱混合性、非交差性を両フレームワークで比較するために、測度論的および位相的道具を用いる。
• 最小距離的系のFurstenbergの構造定理を用いて、中間的拡張および因子写像を分析する。
• 測度の分解とコンパクト群上のハール測度を用いて、拡張における繊維測度を分析する。
• コンパクト群の繊維上で平均化することでタイトな測度を構成し、有限対一の拡張において矛盾を導く。
• Jewett-Krieger定理およびその相対的バージョンを用いて、抽象的測度系を位相的系としてモデル化する。
• Ornstein-Weissのタイトネスおよび平均近接性の概念を用いて、エントロピーおよび因子の振る舞いを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密にエルゴード的で、Kroneckerでない測度保存系は、位相的距離的系として表現可能か？
• RQ2 測度保存系において、タイトネスの性質は因子写像下でも保存されるか？
• RQ3 ゼロエントロピーのエルゴード的系は、必ずしも平均距離的位相的系の因子として生じるか？
• RQ4 開被覆および変動原理において、位相的エントロピーと測度論的エントロピーの関係は何か？
• RQ5 平均近接性および平均距離性の概念は、エントロピーおよび因子系とどのように関係するか？

主な発見

• 繊維測度および拡張の型における背理による証明により、厳密にエルゴード的でKroneckerでない系は、位相的距離的系としてモデル化できないことが示された。
• 最大等連続因子から系への拡張が有限対一でないことは、最小の場合における位相的距離性に反する。
• ゼロエントロピーで、かつ厳密にエルゴード的な系が、平均距離的系の因子として存在することを示し、平均距離性が正エントロピーを意味しないことを示した。
• KingとWeissによる例により、タイトネスは因子写像下で保存されないことが示された。彼らはタイトな系に非タイトな因子を持つ系を構成した。
• 開被覆における変動原理は位相的設定でも成り立ち、ある測度が開被覆の位相的エントロピーを達成するように構成可能である。
• 位相的決定論はエントロピー対の不在によって特徴づけられ、位相的エントロピーが構造的単純性と関連している。