[論文レビュー] On the interplay between notions of additive and multiplicative largeness and its combinatorial applications

Vitaly Bergelson, Daniel Glasscock|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本稿は組合せ論および数論における加法的および乗法的「大きさ」の概念の相互作用を調査し、乗法的大きさが加法的大きさを示す3通りの方法を確立している。有限体における乗法的に大きな集合は、すべての非ゼロk乗数を含むように平行移動可能であることを証明し、乗法的部分半群における正の上バナッハ密度が、等差数列の豊富さを示すことを示しており、シュタイニッツの定理およびヴァン・ダール・ワーデンの定理を強化している。

ABSTRACT

Many natural notions of additive and multiplicative largeness arise from results in Ramsey theory. In this paper, we explain the relationships between these notions for subsets of $\mathbb{N}$ and in more general ring-theoretic structures. We show that multiplicative largeness begets additive largeness in three ways and give a collection of examples demonstrating the optimality of these results. We also give a variety of applications arising from the connection between additive and multiplicative largeness. For example, we show that given any $n, k \in \mathbb{N}$, any finite set with fewer than $n$ elements in a sufficiently large finite field can be translated so that each of its elements becomes a non-zero $k^{ ext{th}}$ power. We also prove a theorem concerning Diophantine approximation along multiplicatively syndetic subsets of $\mathbb{N}$ and a theorem showing that subsets of positive upper Banach density in certain multiplicative sub-semigroups of $\mathbb{N}$ of zero density contain arbitrarily long arithmetic progressions. Along the way, we develop a new characterization of upper Banach density in a wide class of amenable semigroups and make explicit the uniformity in recurrence theorems from measure theoretic and topological dynamics. This in turn leads to strengthened forms of classical theorems of Szemerédi and van der Waerden on arithmetic progressions.

研究の動機と目的

• 半群および環における加法的および乗法的「大きさ」の概念の関係を明確化すること。
• 乗法的大きさが3通りの異なるメカニズムを通じて加法的大きさを示すことを実証すること。
• これらの結果をディオファントス近似および乗法的部分半群における等差数列に応用すること。
• アメーブル半群における上バナッハ密度の新しい特徴付けを構築し、再帰定理を強化すること。
• 特定の乗法的部分半群における正の上バナッハ密度を有する集合が、任意の長さの等差数列を含むことを示すこと。

提案手法

• 特に一様性を伴う再帰定理を用いた位相的・測度論的力学系の道具を用いる。
• βℕのストーン・チェッホコンパクト化および超フィルター理論を用い、シンデティック、IP、中央集合といった大きさクラスを特徴付ける。
• Følner列および漸近的密度を用いて、アメーブル半群における上バナッハ密度を定義・分析する。
• 行列構造および変数語を用いた明示的例を構築し、結果の最適性を示す。
• ヒンダンの定理およびIPシュタイニッツ定理を応用し、大きな集合における組合せ的構造への帰結を導出する。
• ノルム形式および代数的数論を用いて、有限体および数体における乗法的構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的大きさは、ℕおよび関連する半群において、どのような方法で加法的大きさを示すか？
• RQ2 十分に大きな有限体におけるサイズがn未満の任意の有限部分集合は、すべての要素が非ゼロk乗数になるように平行移動可能か？
• RQ3 乗法的にシンデティックなℕの部分集合は、密度の高いディオファントス近似を支持するか？
• RQ4 密度がゼロである乗法的部分半群における正の上バナッハ密度を有する部分集合は、依然として任意の長さの等差数列を含むか？
• RQ5 広範なアメーブル半群のクラスにおいて、上バナッハ密度を一様に特徴付ける方法は何か？

主な発見

• 乗法的大きさは3通りの異なる方法で加法的大きさを示し、明示的構成によりこれらの結果が最適であることが示された。
• 任意のn,k ∈ ℕに対して、十分に大きな有限体におけるサイズがn未満の任意の有限部分集合は、すべての要素が非ゼロk乗数になるように平行移動可能である。
• 非定数の3項等差数列を含まない、乗法的に組合せ的に豊富なℕの部分集合が存在する。これは、乗法的豊かさが必ずしも加法的豊かさを意味しないことを示している。
• 特定の乗法的部分半群における正の上バナッハ密度を有する部分集合—密度がゼロであるにもかかわらず—依然として任意の長さの等差数列を含む。
• 広範なアメーブル半群のクラスにおいて、上バナッハ密度の新しい特徴付けが構築され、より強い形の再帰定理の適用が可能になった。
• 一様性のある再帰と乗法的設定への拡張により、シュタイニッツおよびヴァン・ダール・ワーデンの古典的定理が強化された。