[論文レビュー] On the Intriguing Problem of Counting (n+1,n+2)-Core Partitions into Odd Parts

Anthony Zaleski, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分割理論における長年の未解決問題である、$(n+1,n+2)$-core分割の奇数部への列挙を調査する。三角格子上の順序理想とMapleにおける高度な母関数技法を用いて、著者たちは23項の列挙を計算し、代数的母関数の強力な証拠を提示した。後にポール・ジョンソンによる偶数部分割との深い関係の発見により、高速なアルゴリズムと母関数の代数的方程式の予想が可能になった。

ABSTRACT

Tewodros Amdeberhan and Armin Straub initiated the study of enumerating subfamilies of the set of (s,t)-core partitions. While the enumeration of (n+1,n+2)-core partitions into distinct parts is relatively easy (in fact it equals the Fibonacci number F_{n+2}), the enumeration of (n+1,n+2)-core partitions into odd parts remains elusive. Straub computed the first eleven terms of that sequence, and asked for a "formula," or at least a fast way, to compute many terms. While we are unable to find a "fast" algorithm, we did manage to find a "faster" algorithm, which enabled us to compute 23 terms of this intriguing sequence. We strongly believe that this sequence has an algebraic generating function, since a "sister sequence" (see the article), is OEIS sequence A047749 that does have an algebraic generating function. One of us (DZ) is pledging a donation of 100 dollars to the OEIS, in honor of the first person to generate sufficiently many terms to conjecture (and prove non-rigorously) an algebraic equation for the generating function of this sequence, and another 100 dollars for a rigorous proof of that conjecture. Finally, we also develop algorithms that find explicit generating functions for other, more tractable, families of (n+1,n+2)-core partitions.

研究の動機と目的

• $(n+1,n+2)$-core分割の奇数部への列挙を表す列挙の項を、ストローブが事前に11項しか計算していなかったのをさらに増やすこと。
• 強い数値的証拠と類似構造の類推に基づき、この列挙の母関数が代数的であるかどうかを特定すること。
• 順序理想と母関数を用いたアルゴリズム的手法を発展させ、$(n+1,n+2)$-core分割の制限付き族を列挙すること。
• 奇数部と偶数部の$(n+1,n+2)$-core分割の列挙列の間の関係を確立し、奇数部列挙の高速アルゴリズムを導くこと。

提案手法

• 著者たちは、$(n+1,n+2)$-core分割を、$A_n$ と呼ばれる三角格子上の順序理想としてモデル化し、$P_{n+1,n+2} = \mathbb{N} \setminus ((n+1)\mathbb{N} + (n+2)\mathbb{N})$ として定義される集合と同一視する。
• 各対角線における最大および最小ラベルの偶奇に基づく「タイプ」によって順序理想を分類し、母関数の再帰的分解を可能にする。
• 固定された $k$ に対して、$k$ 個の外側の対角線に制限された順序理想に注目することで、有限状態機械に類似した再帰と代数的母関数を可能にする。
• Mapleパッケージ `OddArmin.txt`、`core.txt`、`stCorePlus.txt` を用いて、繰返し制限付きや奇数部を含む制限付き族の母関数を計算するアルゴリズムを実装する。
• 繰返し制限 $k$ の場合（例：$k=2,3,4$）の明示的な有理母関数を導出し、これらが代数的方程式を満たすことを示す。
• ポール・ジョンソンの発見により、奇数部列挙は偶数部列挙と関係しており、これにより母関数から高速に列挙可能であり、母関数の代数的方程式の予想が可能になった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数部への$(n+1,n+2)$-core分割の数の母関数は、数値的証拠と類似列挙との類推に基づき、代数的であると考えられるか？
• RQ2 直接列挙が困難であるにもかかわらず、この列挙の多くの項を計算する高速なアルゴリズムを構築できるか？
• RQ3 奇数部分割と偶数部分割の$(n+1,n+2)$-core分割の列挙列の間には、どのような構造的関係があるか？
• RQ4 奇数部列挙の母関数は、既知の組合せ的変換を用いて偶数部列挙から導出可能か？
• RQ5 母関数の代数的方程式を予想するために必要な最小の項数は何か？

主な発見

• 著者たちは、$(n+1,n+2)$-core分割の奇数部への列挙の列挙を23項まで計算し、以前に知られていた11項を大幅に超えた。
• 数値的証拠とOEISのA047749番との構造的接続に基づき、この列挙の母関数が代数的であると強く予想されている。
• ポール・ジョンソンの業績により、奇数部列挙は偶数部列挙と関係しており、これにより偶数部母関数から奇数部列挙を高速に計算するアルゴリズムが可能になった。
• $k=2$ の場合、母関数は $-\frac{x^4 - x^3 - x^2 + x + 1}{x^5 - x^4 - 2x^3 + 3x^2 + x - 1}$ であり、最初の20係数が奇数部列挙と一致する。
• $k=3$ の場合、母関数は $-\frac{x^9 + x^8 - 4x^7 - 6x^6 + 8x^5 + 9x^4 - 5x^3 - 5x^2 + x + 1}{(x^9 + 2x^8 - 3x^7 - 9x^6 + 3x^5 + 14x^4 - x^3 - 7x^2 + 1)(x - 1)}$ であり、列挙の最初の25係数が得られる。
• 著者たちは、ポール・ジョンソンの発見が列挙を効率的に計算するという核心的課題を解決したことに敬意を表し、OEISに200ドルの寄付を行った。