[論文レビュー] On the intrinsic geometry of a unit vector field

Alexander Yampolsky|ArXiv.org|Mar 24, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、2次元リーマン多様体上の単位ベクトル場の内在的幾何を、ササキ計量を備えた単位接球面バンドルへの埋め込みとして扱うことで調査する。画像部分多様体のガウス曲率の明示的公式を導出し、完全測地的単位ベクトル場が存在するのは平坦（K=0）または単位球面（K=1）幾何に限ることを証明する。主な結果として、双曲平面の単位接バンドル上に、各葉が一定の内在的曲率 −c² および外在的曲率 −c²/4 を持つ超ファイブレーションの構成がなされる。

ABSTRACT

We study the geometrical properties of a unit vector field on a Riemannian 2-manifold, considering the field as a local imbedding of the manifold into its tangent sphere bundle with the Sasaki metric. For the case of constant curvature K, we give a description of the totally geodesic unit vector fields for K=0 and K=1 and prove a non-existence result for K not equal to 0 and 1. We also found a family of vector fields on the hyperbolic 2-plane L^2 of curvature -c^2 which generate foliations on unit tangent bundle over L^2 with leaves of constant intrinsic curvature -c^2 and of constant extrinsic curvature -c^2/4.

研究の動機と目的

• 2次元リーマン多様体上の単位ベクトル場の内在的幾何を、ササキ計量を備えた単位接球面バンドルに埋め込むことで分析すること。
• 単位ベクトル場の像が単位接バンドル内に完全測地的部分多様体をなすための条件を特定すること。
• 特に定曲率空間において、一定の内在的曲率を持つ部分多様体を生成する単位ベクトル場を特徴づけること。
• 双曲2次元平面の単位接バンドル上に、一定の内在的および外在的曲率を持つ葉を持つ超ファイブレーションを構成すること。

提案手法

• 本稿は、単位接球面バンドル $T_1M$ に導入されたササキ計量を用いて、単位ベクトル場 $\xi: M \to T_1M$ の像に誘導される幾何を研究する。
• ベクトル場 $\xi$ に適合する局所正規直交フレーム $(e_0, e_1)$ を導入し、$e_0$ を $\xi$ の積分曲線に接するものとし、共変微分 $\nabla\xi$ の符号付き特異値 $\lambda$ を定義する。
• 部分多様体 $\xi(M)$ の第二基本形式 $\Omega$ を、基底多様体の曲率 $K$、関数 $\lambda$、および測地的曲率 $\mu$、$\sigma$、$k$、$\kappa$ の関数として明示的に計算する。
• ガウス曲率 $K_\xi$ は、$K$、$\lambda$、$e_0(\lambda)$、フレームの向きを示す符号因子 $s$ を含む公式を用いて導出され、$K_\xi$ の閉形式表現が得られる。
• ササキ計量の $T_1M^n$ 上での既知の曲率公式を活用し、像部分多様体の内在的曲率を計算する。
• 双曲的状況では、一様な角度をなす平行測地線の束に対して一定の角度をなす一様なパラメータ族 $\xi_\omega$ のベクトル場を構成し、それらの像が一定の内在的曲率 $-c^2$ および外在的曲率 $-c^2/4$ を持つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定曲率曲面において、単位ベクトル場がササキ計量のもとで単位接バンドル内に完全測地的部分多様体を生成するのはどのような場合か？
• RQ2 単位接バンドル $T_1M$ 内の単位ベクトル場の像が一定の内在的曲率を持つのはどのような条件下か？
• RQ3 双曲平面の単位接バンドル上に、各葉が一定の内在的および外在的曲率を持つ超ファイブレーションを構成できるか？
• RQ4 基底多様体の幾何とササキ計量のもとでの像部分多様体の曲率との関係は何か？
• RQ5 $\xi$ の積分曲線およびその直交補空間の測地的曲率は、$\xi(M)$ の曲率とどのように関係するか？

主な発見

• 2次元リーマン多様体上で完全測地的単位ベクトル場が存在するのは、定曲率 $K$ に対して $K = 0$ または $K = 1$ の場合に限る。
• $K = 0$ の場合、完全測地的部分多様体は、基底を $M \times S^1$ に等長埋め込みするもの、またはヘリカルな平坦部分多様体である。
• $K = 1$ の場合、ベクトル場は子午線に沿って平行であり、赤道に沿って単位速度で回転し、像は $T_1S^2 \cong \mathbb{R}P^3$ 内の半径 2 の $\mathbb{R}P^2$ に局所等長同型である。
• 曲率 $-c^2$ の双曲2次元平面では、一様な角度をなす平行測地線の束に対して一定の角度をなすベクトル場族 $\xi_\omega$ が、$T_1L^2$ 上に、各葉が一定の内在的曲率 $-c^2$ および一定の外在的曲率 $-c^2/4$ を持つ超ファイブレーションを生成する。
• $\xi$ が定曲率空間上での測地的ベクトル場であるとき、$K = -c^2$（ホロサイクル法線場）、$K = 0$（平行場）、または $K = 1$（任意の測地的場）のいずれかの場合に、像 $\xi(M)$ は一定の内在的曲率を持ち、それぞれ $K_\xi = -c^2$、$0$、または $0$ となる。
• 部分多様体 $\xi(M)$ のガウス曲率は、$K$、$\lambda$、$e_0(\lambda)$、および向き因子 $s$ を含む閉形式で与えられ、$K_\xi$ が一定であるのは特定の幾何的配置でのみであることが確認される。