[論文レビュー] On the intrinsic torsion of spacetime structures

José Figueroa-O’Farrill|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2020

Advanced Differential Geometry Research参考文献 22被引用数 51

ひとこと要約

この論文は、非ローレンツ空間に関連する G-構造の内在ねじれを分類し、それぞれの類に対する幾何学的特徴付けを提供する（ガリレアン、キャロリアン、アリストテリアン、バグマン）.

ABSTRACT

We briefly review the notion of the intrinsic torsion of a $G$-structure and then go on to classify the intrinsic torsion of the $G$-structures associated with spacetimes: namely, galilean (or Newton-Cartan), carrollian, aristotelian and bargmannian. In the case of galilean structures, the intrinsic torsion classification agrees with the well-known classification into torsionless, twistless torsional and torsional Newton-Cartan geometries. In the case of carrollian structures, we find that intrinsic torsion allows us to classify Carroll manifolds into four classes, depending on the action of the Carroll vector field on the spatial metric, or equivalently in terms of the nature of the null hypersurfaces of a lorentzian manifold into which a carrollian geometry may embed. By a small refinement of the results for galilean and carrollian structures, we show that there are sixteen classes of aristotelian structures, which we characterise geometrically. Finally, the bulk of the paper is devoted to the case of bargmannian structures, where we find twenty-seven classes which we also characterise geometrically while simultaneously relating some of them to the galilean and carrollian structures. This paper is dedicated to Dmitri Vladimirovich Alekseevsky on his 80th birthday.

研究の動機と目的

• 時空幾何学における G-構造の可積分性に対する最初の障害として、内在ねじれの研究を動機づける。
• ガリレアン、キャロリアン、アリストテレアン、およびバグマン構造を定義する G-群と特徴テンソルを特定する。
• 内在ねじれの G-モジュール構造を決定し、同値性まですべての異なる G-構造型を分類する。
• 各内在ねじれクラスを、構造の定義テンソルの観点から幾何学的特徴づけを提供する。

提案手法

• Spencer微分を用いた G-構造論、適合接続、および内在ねじれの理論を概説する。
• 各時空 G-構造型に対して Spencer 微分の cokernel を計算し、内在ねじれ成分を同定する。
• 内在ねじれ空間の G-部分模数分解を決定し、時計形式(clock form)、空間計量、及びノull ベクトル場のような特徴テンソルに基づいて解釈する。
• 各クラスを、定義テンソルの微分や微分演算子のリーベ導関数を調べることによって幾何学的特徴づけを提供する（例: dτ, Lξh, ∇ξ）。
• null reductions および embedded null hypersurfaces を介して、 bargmannian 構造と galilean/carrollian 構造との対応と簡約を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガリレアン、キャロリアン、アリストテレアン、およびバグマニアン時空幾何学に対応する G-構造の内在ねじれは何か？
• RQ2 各構造における定義テンソル（時計形式、空間計量、null ベクトル場）を用いて、内在ねじれを幾何学的にどう特徴づけることができるか？
• RQ3 各時空構造に対していくつの異なる内在ねじれクラスが生じ、それらは既知の分類（例: NC、TTNC、TNC）とどう関連するか？
• RQ4 bargmannian 構造とそれらの galilean/carrollian reductions または embedded null hypersurfaces を介した関係は何か？

主な発見

• ガリレアン構造の内在ねじれ分類は、既知の NC、TTNC、および TNC の分解と一致する。
• キャロリアン構造は 4 intrinsic torsion classes を認め、空間計量に対するキャロリーワード場の作用と誘導された null 超曲面の性質によって区別される。
• 16 の内在ねじれクラスをアリストテレアン構造が示す。これはガリレアンおよびキャロリアンの場合から洗練されたものである。
• 27 の内在ねじれクラスをバグマン構造は示し、幾何学的特徴づけとガリレアンおよびキャロリアン構造との関連を有する。
• 内在ねじれは Spencer differential の cokernel に存在し、その解釈は dτ や ∇ξξ などの定義テンソルの導関数に結びついている。
• bargmannian、ガリレアン、キャロリアン構造のクラス間には対応および部分順序が存在する。