[論文レビュー] On the invariance of the total Monge-Ampere volume of Hermitian metrics

Ionuţ Chiose|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、既知の結果の逆を確立する。コンパクト複素多様体上のヘルミート計量が全モンジュ＝アンペール体積を保存するための必要十分条件は、すべての $ k = 1, \dots, n-1 $ に対して $ i\bar{\partial}\bar{\partial}g^k = 0 $ が成り立つことである。証明はストークスの定理と滑らかなテスト関数による積分を用いて、モンジュ＝アンペール体積の変動が消えることから曲率形式の消滅を示し、複素幾何学における未解決問題を解決するとともに、比較原理を満たす計量を特徴づける。

ABSTRACT

In this note, we describe the Hermitian metrics that leave the total Monge-Ampere volume invariant. In particular, we give several characterizations of the Hermitian metrics which satisfy the comparison principle for the complex Monge-Ampere operator

研究の動機と目的

• 文献[5]の質問29および文献[4]の問題11.1である、ヘルミート計量下での全モンジュ＝アンペール体積の不変性を解消すること。
• 複素モンジュ＝アンペール作用素の比較原理を満たすヘルミート計量を特徴づけること。
• 既知の結果の逆を確立すること：すべての $ g $-擬上膜関数に対して全モンジュ＝アンペール体積が保存されるならば、$ k = 1, \dots, n-1 $ に対して $ i\partial\bar{\partial}g^k = 0 $ が成り立つこと。
• ヘルミート計量の文脈において、体積不変性、曲率の消滅、および比較原理の完全な同値性を確立すること。

提案手法

• ストークスの定理を2回適用し、$ (g + \varepsilon i\partial\bar{\partial}u)^n $ の積分と $ g^k \wedge (i\partial\bar{\partial}u)^{n-k} $ の積分を関係づける。
• $ (g + \varepsilon i\partial\bar{\partial}u)^n $ を $ \varepsilon $ に関する多項式として展開し、$ g^k \wedge (i\partial\bar{\partial}u)^{n-k} $ に直交性条件を導く。
• $ k $ を固定し、任意の滑らかな関数 $ u_1, \dots, u_{n-k} $ を用いて、$ \int_X g^k \wedge i\partial\bar{\partial}u_1 \wedge \cdots \wedge i\partial\bar{\partial}u_{n-k} = 0 $ を導出する。
• 再びストークスの定理を適用し、任意の $ u_1 $ に対して $ \int_X u_1 i\partial\bar{\partial}g^k \wedge i\partial\bar{\partial}u_2 \wedge \cdots \wedge i\partial\bar{\partial}u_{n-k} = 0 $ が成り立つことを示し、$ i\partial\bar{\partial}g^k \wedge i\partial\bar{\partial}u_2 \wedge \cdots \wedge i\partial\bar{\partial}u_{n-k} = 0 $ を得る。
• 局所的テスト関数 $ u_i = z_{l_i} \bar{z}_{m_i} $ を構成し、$ i\partial\bar{\partial}g^k $ のすべての成分が点ごとに消えることを示し、したがって $ i\partial\bar{\partial}g^k = 0 $ が成り立つことを示す。
• 文献[3]および[2]の既知の結果を用いて、体積不変性、曲率の消滅、および比較原理の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $ g $-擬上膜関数に対して全モンジュ＝アンペール体積が不変であることは、$ k = 1, \dots, n-1 $ に対して $ i\partial\bar{\partial}g^k = 0 $ を意味するか？
• RQ2 複素モンジュ＝アンペール作用素の比較原理を満たすヘルミート計量の正確な特徴づけは何か？
• RQ3 すべての $ u \in PSH(X,g) $ に対して $ \int_X (g + i\partial\bar{\partial}u)^n = \int_X g^n $ が成り立つという条件は、曲率形式が消える計量を特徴づけるのに使えるか？
• RQ4 比較原理は、$ k = 1, \dots, n-1 $ に対して $ i\partial\bar{\partial}g^k $ の消滅と同値か？
• RQ5 このような曲率の消滅がコンパクト複素多様体に与える幾何学的およびコホロジー的影響は何か？

主な発見

• 本稿は、コンパクト複素多様体上のヘルミート計量 $ g $ が、すべての $ u \in PSH(X,g) $ に対して $ \int_X (g + i\partial\bar{\partial}u)^n = \int_X g^n $ を満たすための必要十分条件が、すべての $ k = 1, \dots, n-1 $ に対して $ i\partial\bar{\partial}g^k = 0 $ であることであると証明し、長年の未解決問題を解決した。
• 体積不変性と $ i\partial\bar{\partial}g^k $ の消滅の同値性は、部分積分と任意の滑らかなテスト関数の使用によって確立された。
• 定理0.2の条件(v)である比較原理が、$ i\partial\bar{\partial}g^k $ の消滅と同値であることが示され、それが擬上膜理論における中心的役割を果たしていることが確認された。
• $ i\partial\bar{\partial}g = 0 $ および $ i\partial g \wedge \bar{\partial}g = 0 $ であることは、体積不変性および比較原理と同値であることが示されたが、ケーラー条件やガウディュシュォン条件を仮定しないでも成り立つ。
• 直接的証明として、$ i\partial\bar{\partial}g \geq 0 $ かつ $ i\partial g \wedge \bar{\partial}g \geq 0 $ ならば、恒等式 $ d(ig^{n-2} \wedge \bar{\partial}g) = (n-2)g^{n-3} \wedge i\partial g \wedge \bar{\partial}g + g^{n-2} \wedge i\partial\bar{\partial}g $ とストークスの定理を用いて、両形式が消えることを示した。
• 本稿は、非ケーラー多様体の例を構成し、非自明なクラスであることを示した。具体的には、非ケーラーな表面におけるガウディュシュォン計量とケーラー多様体との積がその例として挙げられる。