[論文レビュー] On the invariant measure of the random difference equation $X_n=A_n X_{n-1}+ B_n$ in the critical case

Sara Brofferio, Dariusz Buraczewski+1 more|ArXiv.org|Sep 10, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{E}[\log A_1] = 0$ である臨界ケースにおける確率的差分方程式 $X_n = A_n X_{n-1} + B_n$ の不変Radon測度 $\nu$ を研究する。$z \to \infty$ のとき、適切に拡大された測度 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ の弱収束が存在し、$\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 上の同次測度を定義することを証明する。これは、$A_1$ の分布に制限のない支持やモーメントの仮定を課さない多変数設定における $\nu$ の無限遠における漸近的挙動を確立する。

ABSTRACT

We consider the autoregressive model on $\R^d$ defined by the following stochastic recursion $X_n = A_n X_{n-1}+B_n$, where $\{(B_n,A_n)\}$ are i.i.d. random variables valued in $\R^d imes \R^+$. The critical case, when $\E\big[\log A_1\big]=0$, was studied by Babillot, Bougeorol and Elie, who proved that there exists a unique invariant Radon measure $ν$ for the Markov chain $\{X_n \}$. In the present paper we prove that the weak limit of properly dilated measure $ν$ exists and defines a homogeneous measure on $\R^d\setminus \{0\}$.

研究の動機と目的

• 確率的差分方程式 $X_n = A_n X_{n-1} + B_n$ の臨界ケース、すなわち $\mathbb{E}[\log A_1] = 0$ のとき、一意な不変Radon測度 $\nu$ の漸近的挙動を理解すること。
• 拡大された測度 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ の弱収束を $z \to \infty$ のとき分析することで、$\nu$ の無限大における尾部挙動を特徴づけること。
• 分布 $A_1$ に対して周期性や小さなモーメントの仮定を要求しない一般条件下で、$\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 上に同次極限測度の存在を確立すること。
• 極限同次測度が非退化である、すなわち恒等的にゼロでないことを証明すること。

提案手法

• 著者たちは、群作用 $G = \mathbb{R}^d \rtimes \mathbb{R}_+^*$ による $ax+b$ 群の作用を用いて、マルコフ連鎖 $X_n$ を分析する。ここで $(b,a) \cdot x = ax + b$ である。
• 拡大 $z^{-1}$ による $\nu$ の押し出し、すなわち $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ を研究し、$z \to \infty$ のときの弱収束を証明する。
• 証明はスペクトル理論に依拠し、特に $\lambda \nearrow 1$ のときの作用素 $A^\lambda$ 及びその収束を分析するランダムウォークの群 $G$ 上のポアソン方程式の文脈で行われる。
• 調和関数に対してチョケット＝デニの定理を適用し、分布的意味でのフーリエ解析を用いてポテンシャル核の減衰を制御する。
• 中心化された増分 $Y = \log A_1$ に関連する関数 $r(x)$ を定義し、その性質を用いて可積分性および減衰条件を確立する。
• コンパクトなフーリエ変換を持つ関数の族 $\mathcal{F}(\overline{\mu})$ を用いることで、ポアソン方程式の枠組みにおける収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的差分方程式 $X_n = A_n X_{n-1} + B_n$ の臨界ケースにおける不変Radon測度 $\nu$ は、無限大において同次的尾部構造を示すか？
• RQ2 拡大測度 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ の弱収束は $z \to \infty$ のときどのように振る舞うか？
• RQ3 分布 $\mu$ に対して一般のモーメントおよび支持の仮定のもとで、同次極限測度が非退化であることを示せるか？
• RQ4 分布 $A_1$ が $\mathbb{E}[\log A_1] = 0$ を満たすとき、$\nu$ の漸近的挙動はどのように依存するか？
• RQ5 極限測度は特定の次数の同次的であるか？その径方向分解は何か？

主な発見

• $z \to \infty$ のとき、$\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ の弱収束が存在し、$\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 上の同次Radon測度を定義する。これは主たる構造的結果である。
• 極限測度は次数ゼロの同次的である。これはスケーリングに関して不変であり、収縮ケースに類似した径方向分解を有する。
• 与えられたモーメントおよび支持の条件下で、極限測度は非退化である（恒等的にゼロでない）。これにより、漸近的挙動が意味を持つことが保証される。
• 支持が $\mathbb{R}_+^*$ を生成する必要もなく、散らばった分布である必要もないため、従来の結果をより広い分布のクラスにまで拡張する。
• 証明により、ポテンシャル核 $r(x)$ がモーメント条件に応じて指数的または多項式的減衰を示すことが示され、ポアソン方程式の枠組みでの収束が可能になる。
• 著者たちは、$\mathbb{E}[|\log A_1|^{4+\varepsilon}] < \infty$ のとき、関数 $r$ がクラス $\mathcal{F}(\overline{\mu})$ に属することを示し、可積分性の保証とスペクトル法の適用を可能にする。