[論文レビュー] On the Invariants of Matrices and the Embedding Problem

Francesco Vaccarino|ArXiv.org|Jun 9, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無限体 $Π$ 上の任意のカイリー・ハミルトン $Π$-代数が、ドンキンとツブコフの定理を介して正標数からの不変量を用いて、$n\times n$ 行列の多項式不変量環の商であることを確立する。主な結果は、プロセッチの定理の標数に依存しない一般化を確認しており、$R$ が形式的カイリー・ハミルトン条件を満たすとき、普遍写像 $j_n^R$ が同型であることを示している。

ABSTRACT

Let K be an infinite field and let R be a K-algebra endowed with a homogeneous polynomial norm N of degree n. If N satisfies a formal analogue of the Cayley-Hamilton Theorem the we will show that R is a quotient of the ring of the invariants of several square matrices of order n under the simultaneous conjugation.

研究の動機と目的

• 標数 0 の場合の行列埋め込みに関するプロセッチの定理を、任意の無限体へ一般化すること。
• 任意のカイリー・ハミルトン $Π$-代数 $R$ が、$n\times n$ 行列の多項式不変量環の商として得られることを確立すること。
• このような代数に対して、普遍写像 $j_n^R: R \to M_n(A_n(R))^{GL_n(\u03a0)}$ が同型であることを示す基盤を提供すること。
• 正標数における不変量（ドンキン・ツブコフ）を橋渡しとして用い、標数に依存しない結果を得ること。

提案手法

• 多項式法則と分割冪環を用いて、$Π$-加群間の同次多項式写像の概念を形式化する。
• 正標数における行列の不変量に関するドンキン・ツブコフの定理を応用し、$n\times n$ 行列の多項式不変量環を記述する。
• 函子的対応 $\operatorname{Hom}(R, M_n(B)) \cong \operatorname{Hom}(A_n(R), B)$ を用いて、普遍環 $A_n(R)$ と写像 $j_n^R$ を構成する。
• 特に $H^1(GL_n(\u03a0), \cdot)$ を用いたコホモロジー的技法を適用し、$GL_n(\u03a0)$-加群の構造を解析し、普遍写像の単射性を証明する。
• 良いフィルトレーション理論を用いて、第一コホモロジー群の消滅を保証し、$GL_n(\u03a0)$-加群の完全列の分解を可能にする。
• 問題を $J_{S'} = M_n(I_{S'}) \cap D_S(n)$ を示すことに還元し、$B_{S'}(n) \cong B_S(n) \oplus \tilde{J}_{S'}$ の分解を用いて、誘導写像の核と像を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $Π$-代数 $R$ が、$n$ 次の同次多項式ノルム $N$ を持つとき、ある可換 $Π$-代数 $L$ に対して $M_n(L)$ に埋め込める条件は何か？
• RQ2 任意のカイリー・ハミルトン $Π$-代数 $R$ に対して、普遍写像 $j_n^R: R \to M_n(A_n(R))^{GL_n(\u03a0)}$ は同型であるか？
• RQ3 正標数における不変量を用いて、プロセッチのカイリー・ハミルトン恒等式に関する標数 0 の結果を、任意の無限体へ拡張できるか？
• RQ4 $n\times n$ 行列の不変量環は、すべての $n$ 次カイリー・ハミルトン代数をパラメトライズするためにどのように利用できるか？
• RQ5 $GL_n(\u03a0)$-加群のコホモロジーは、普遍写像 $j_n^R$ の単射性の証明において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• 形式的カイリー・ハミルトン条件を満たすノルム $N$ を持つ任意のカイリー・ハミルトン $Π$-代数 $R$ は、$Π$ 上の $n\times n$ 行列の多項式不変量環の商と同型である。
• $R$ が形式的カイリー・ハミルトン恒等式を満たすと仮定すると、普遍写像 $j_n^R: R \to M_n(A_n(R))^{GL_n(\u03a0)}$ が同型であることが示された。
• 写像 $D_S(n) \to D_{S'}(n)$ の核が $J_{S'} = M_n(I_{S'}) \cap D_S(n)$ であることが示され、ここで $I_{S'}$ は $A_S(n) \to A_{S'}(n)$ の射影の核である。
• $GL_n(\u03a0)$-加群 $B_{S'}(n) \cong B_S(n) \oplus \tilde{J}_{S'}$ の分解により、切断の構成が可能となり、コホモロジー的議論において不可欠な役割を果たす。
• 良いフィルトレーション理論を用いて、特定の加群 $V$ に対して $H^1(GL_n(\u03a0), V)$ が消えることが保証され、コホモロジー列の完全性が保証される。
• この結果は、プロセッチの定理の標数に依存しない一般化を確認しており、すべての無限体上のカイリー・ハミルトン代数に対して、普遍写像 $j_n^R$ が同型であることを示している。