[論文レビュー] On the inverse power index problem

Sascha Kurz|SSRN Electronic Journal|Nov 27, 2012

Game Theory and Voting Systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、重み付き投票ゲームにおける逆パワーインデックス問題の最初の正確なアルゴリズムを提示する。整数線形計画法（ILP）を用いて、目標となる影響力分布に最も近づく投票重みを特定する。計算結果により、n ≤ 16人の参加者に対して、Shapley-ShubikおよびBanzhafインデックスの両方において、分布(0.75, 0.25, 0, ..., 0)が極めて近似困難であることが示された。それぞれの最小距離は1/3および0.378であった。

ABSTRACT

Weighted voting games are frequently used in decision making. Each voter has a weight and a proposal is accepted if the weight sum of the supporting voters exceeds a quota. One line of research is the efficient computation of so-called power indices measuring the influence of a voter. We treat the inverse problem: Given an influence vector and a power index, determine a weighted voting game such that the distribution of influence among the voters is as close as possible to the given target value. We present exact algorithms and computational results for the Shapley-Shubik and the (normalized) Banzhaf power index.

研究の動機と目的

• 目標となる影響力ベクトルが与えられたとき、その影響力分布に最も近い重み付き投票ゲームのパワーインデックス分布を求める逆パワーインデックス問題を解くこと。
• 与えられたパワーインデックス下での最適な投票重みを計算するための、ブルートフォースな全探索を超える正確なアルゴリズムの開発。
• 特に(0.75, 0.25, 0, ..., 0)ベクトルのようなパワー分布の最悪ケース近似特性を調査すること。
• 少数の参加者数におけるBanzhafおよびShapley-Shubikインデックスの、達成可能なパワー分布の集合を同定すること。
• 現実世界の投票制度における理想のパワー分布の近似可能性と限界を、計算的証拠をもとに提示すること。

提案手法

• 決定変数を投票重みとし、目的のパワーインデックス分布を満たす制約を課すことにより、逆パワーインデックス問題を整数線形計画問題（ILP）として定式化する。
• 目標影響力ベクトルと計算された影響力ベクトルのL1距離を最小化する目的関数として、正規化されたBanzhafおよびShapley-Shubikパワーインデックスを用いる。
• 小規模なn（n ≤ 16）に対しては、重み付き投票ゲームの完全な列挙による正確な計算を実施し、大規模なインスタンスに対してはILPベースの最適化を組み合わせる。
• ILP定式化における計算効率の向上を図るため、参加者を重み順に辞書式順序で並べ替える。
• 正確なILP法の性能を比較するためのベンチマークとして、固定点ヒューリスティックを用いる。
• n = 6〜9の場合の2次元プロット（例：参加者1対参加者2）を用いて、達成可能なパワー分布の集合を可視化し、色分けされたピクセル表現により達成点の密度を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≤ 15人の参加者をもつ重み付き投票ゲームにおいて、Shapley-Shubikインデックスの目標パワー分布(0.75, 0.25, 0, ..., 0)から達成可能なパワー・ベクトルまでの最小L1距離は何か？
• RQ2 Banzhafパワーインデックスは、(0.75, 0.25, 0, ..., 0)の目標分布をどの程度正確に近似できるか。n ≤ 16の場合の最悪ケース近似誤差は何か？
• RQ3 達成可能なパワー分布の集合に、(0.75, 0.25, 0, ..., 0)のようなベクトルが極めて近似困難である理由を説明する構造的性質は存在するか？
• RQ4 提案されたILPベースの手法は、EUの部分集合のような現実の投票制度に対しても、逆パワーインデックス問題を正確に解けるか？
• RQ5 (0.75, 0.25, 0, ..., 0)分布は、両方のパワーインデックスにおいて最悪ケースのターゲットであり、nが増加しても同様に成り立つか？

主な発見

• Shapley-Shubikインデックスに関しては、n ≤ 15人のすべての参加者数において、目標(0.75, 0.25, 0, ..., 0)からの最小L1距離が1/3以上であることが保証されている。
• Banzhafインデックスに関しては、重み[466; 367, 99, 99, 99, 70, 29, 29, 12, 12, 5, 5, 2, 2, 1, 1]をもつ15人投票ゲームで、最小L1距離0.3783563が達成された。
• 16人投票ゲームに重み0の参加者を追加した場合でも、同じ最小距離0.3783563が維持され、この困難なインスタンスの堅牢性が示された。
• 両インデックスの達成可能なパワー分布の集合は一様に密ではない。特に(0.75, 0.25)近辺は疎らに分布しており、近似における本質的な制限が存在することが示唆された。
• 計算結果から、提案されたILP法はn ≤ 16において逆問題を正確に解くことができ、最も困難な16人インスタンスでも2.34日以内に実行可能であることが判明した。
• 本研究は、(0.75, 0.25, 0, ..., 0)ベクトルが近似において重要なケースであり、両パワーインデックスの最悪ケースとされる可能性が高いことを確認した。