[論文レビュー] On the irreducible representations of generalized quantum doubles

Sebastian Burciu|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、半単純なホップ代数に値をとる全射の歪ペアリングを持つ一般化量子ダブル $D_{ u}(U,H)$ の完全な非可約表現の分類を提供し、有限群のドリンフェルトダブル表現のよく知られたパrametrization を一般化する。これらの表現のテンソル積公式を確立し、そのグロテンディーク環がグリーン関手や余中心的拡張から生じる構造と類似した構造を示し、既知の量子ダブルおよびホッホシールドコホホロジー環の結果を拡張する。

ABSTRACT

A description of all the irreducible representations of generalized quantum doubles associated to skew pairings of semisimple Hopf algebras is given. In particular a description of the irreducible representations of semisimple Drinfeld doubles is obtained. It is shown that the Grothendieck ring of these generalized quantum doubles have a structure similar to the rings that arise from Green functors. In order to do this we give a formula for the tensor product of any two such irreducible representations.

研究の動機と目的

• $U$ と $H$ が半単純ホップ代数であり、ペアリングが $U \to H^{*\text{cop}}$ に全射を誘導するとき、一般化量子ダブル $D_{ u}(U,H)$ のすべての非可約表現を分類すること。
• 有限群 $G$ のドリンフェルトダブル $D(G)$ の非可約表現のパラメトライゼーションを、一般化量子ダブルの設定に一般化すること。
• これらの非可約表現のテンソル積構造を、共役な部分代数上の誘導モジュールを用いて記述すること。
• グロテンディーク環 $K_0(D_{ u}(U,H))$ が、グリーン関手や余中心的ホップ代数拡張から生じる構造と類似した環構造を持つことを示すこと。
• ホップ代数準同型 $f: U \to H^{*\text{cop}}$ によって誘導されるテンソル関手の像 $f_*$ による相対中心として、表現圏のカテゴリカルな解釈を確立すること。

提案手法

• 半単純ホップ代数のクリフォード理論を適用し、$D_{ u}(U,H)$ の表現を、$U$ の最大の中心的ホップ部分代数 $K(U)$ によって分析する。
• $\mathrm{Rep}(U)$ の普遍グレーディング群 $G$ を $K(U) = kG^*$ で定義し、共役類と等変モジュールを用いて非可約表現をパラメトライズする。
• $L(g) \subseteq H$ を中心化代数の一般化として定義し、$M \in \mathcal{I}_g$ に対して非可約表現を $S_{g,M} = H \otimes_{L(g)} M$ として構成する。
• 二重コセット分解を用いてテンソル積公式を導出する：$(H \otimes_{L(g)} M) \otimes (H \otimes_{L(h)} N) \cong \bigoplus_{x \in \mathcal{D}} H \otimes_{L({}^xgh)} P(x)$ であり、$P(x)$ は制限および誘導モジュールのテンソル積である。
• グロテンディーク環 $K_0(D_{ u}(U,H))$ から中心化 $\mathrm{C}_{\mathbb{Z}G}(\mathbb{Z}F)$ への環の上昇写像を確立し、グリーン関手や余中心的拡張から生じる環構造と類似した構造を示す。
• $\mathrm{Rep}(D_{ u}(U,H))$ の表現圏を、全射ホップ代数準同型 $f: U \to H^{*\text{cop}}$ によって誘導される $f_*$ の像関手の相対中心として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $U$ と $H$ が半単純であり、ペアリングが $U \to H^{*\text{cop}}$ に全射を誘導するとき、一般化量子ダブル $D_{ u}(U,H)$ の非可約表現はどのように分類できるか？
• RQ2 二つの非可約表現のテンソル積の構造は何か？ そして、有限群のドリンフェルトダブルの既知の公式をどのように一般化するか？
• RQ3 一般化量子ダブル $D_{ u}(U,H)$ のグロテンディーク環は、グリーン関手や余中心的拡張から生じる既知の環構造とどのように関係するか？
• RQ4 $\mathrm{Rep}(D_{ u}(U,H))$ のカテゴリカルな解釈は、テンソル関手の相対中心としてどのように記述できるか？
• RQ5 $D_{ u}(U,H)$ の表現理論は、有限群 $G$ の $D(G)$ の表現理論とどの程度類似しているか？

主な発見

• すべての非可約表現 $D_{ u}(U,H)$ は、$S_{g,M} = H \otimes_{L(g)} M$ の形に書ける。ここで $g$ は $\mathrm{Rep}(U)$ の普遍グレーディング群 $G$ 内の $F$-軌道の代表元であり、$M$ は $\mathcal{I}_g$ 内の非可約表現である。
• 二つの非可約表現のテンソル積は、$(H \otimes_{L(g)} M) \otimes (H \otimes_{L(h)} N) \cong \bigoplus_{x \in \mathcal{D}} H \otimes_{L({}^xgh)} P(x)$ で与えられる。ここで $\mathcal{D}$ は二重コセット代表元の集合であり、$P(x)$ は $L(g)$ と $L(h)$ の交わりからの誘導モジュールである。
• $K_0(D_{ u}(U,H))$ は $\bigoplus_{g \in \Gamma} K_0(\mathcal{B}_g)$ に分解され、乗法は $K_0(\mathcal{B}_g) K_0(\mathcal{B}_h) \subseteq \bigoplus_{x \in \mathcal{D}} K_0(\mathcal{B}_{{}^xgh})$ を満たす。これはグリーン関手に類似した構造を反映している。
• $K_0(D_{ u}(U,H)) \to \mathrm{C}_{\mathbb{Z}G}(\mathbb{Z}F)$ なる全射環準同型が存在し、$[S_{g,M}]$ を $(\dim M) \cdot s(g)$ に送る。ここで $s(g)$ は $\mathbb{Z}G$ 内の軌道和である。これはチビルスおよびウィスパーソンの結果を一般化する。
• $\mathrm{Rep}(D_{ u}(U,H))$ の表現圏は、全射ホップ代数準同型 $f: U \to H^{*\text{cop}}$ によって誘導される $f_*$ の像関手の相対中心と同値であり、カテゴリカルな解釈が得られる。
• $D_{ u}(U,H)$ のグロテンディーク環の構造は、[30] で示されたアーベルな余中心的拡張の環構造と一致し、ホッホシールドコホホロジーおよび表現論における既知の構成との深い構造的類似性を確認する。