[論文レビュー] On the isometry group and the geometric structure of compact stationary Lorentzian manifolds

Paolo Piccione, Abdelghani Zeghib|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、無限個の成分をもつ等長変換群を備えたコンパクトな定常ローレンツ多様体を調査し、有限被覆の意味で、平坦なローレンツトーラスとコンパクトなリーマン的または光的多様体の積（またはアンモリフィード積）に分解されることを証明している。主な結果は、等長変換群の単位成分の非コンパクト性と、時的キリング場の存在に基づく構造的分類を確立するものである。

ABSTRACT

We study the geometry of compact Lorentzian manifolds that admit a somewhere timelike Killing vector field, and whose isometry group has infinitely many connected components. Up to a finite cover, such manifolds are products (or amalgamated products) of a flat Lorentzian torus and a compact Riemannian (resp., lightlike) manifold.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな等長変換群をもつコンパクトなローレンツ多様体の幾何的構造を理解すること。
• どこかの点で時的であるキリングベクトル場が、このような多様体のグローバル幾何に与える役割を分析すること。
• 等長変換群の連結成分が無限個ある場合の、コンパクトな定常ローレンツ多様体の構造を分類すること。
• 既知の等長変換群作用の結果を、無限個の成分をもつ非コンパクトな等長変換群の状況に拡張すること。
• このような多様体が、平坦なローレンツトーラスとコンパクトなリーマン的／光的因子を含む積またはアンモリフィード積の有限被覆である条件を特定すること。

提案手法

• 等長変換群の離散部分の随伴作用を用いて、等長変換群の構造を分析すること。
• ハリシュ・チャンドラ–ボレの定理を用いて、有理的ローレンツ形式に関連する直交群における算術的格子を研究すること。
• 単連結多様体の積への自由かつ適切な円群の対角作用を用いて商多様体を構成すること。
• 対角S¹作用によって誘導されるファイブレーションの長完全ホモトピー列を分析し、商多様体の基本群を特定すること。
• [17] の結果を応用して、SL(2,R) やオシレータ群の等長作用の構造を用い、非単連結なローレンツ多様体を分類すること。
• 離散商群 Γ = Iso(M,g)/Iso₀(M,g) の性質に基づく背理法と場合分けによる証明で、初等的放物型と非放物型のケースを区別すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長変換群の連結成分が無限個あるコンパクトな定常ローレンツ多様体の幾何的構造は何か？
• RQ2 時的キリング場をもち、非コンパクトな等長変換群をもつコンパクトなローレンツ多様体が、積またはアンモリフィード積に分解される条件は何か？
• RQ3 等長変換群の単位成分が非コンパクトである場合、多様体のグローバルトポロジーや幾何にどのような制約が生じるか？
• RQ4 単連結なコンパクトなローレンツ多様体の等長変換群が無限個の成分をもつ場合、それがコンパクトでないことがあるか？
• RQ5 基本群が、平坦なローレンツトーラスを含む積の有限被覆であるかどうかを決定する上で、基本群が果たす役割は何か？

主な発見

• 連結成分が無限個ある等長変換群をもつコンパクトな定常ローレンツ多様体は、有限被覆の意味で、平坦なローレンツトーラスとコンパクトなリーマン的または光的多様体の積（またはアンモリフィード積）に分解される。
• 等長変換群が非コンパクトで、単位成分が時的軌道を含むならば、SL(2,R) またはオシレータ群に局所的に同型な非自明な因子を含む必要がある。
• 多様体が単連結である場合、等長変換群はコンパクトでなければならない。ゆえに、無限個の成分をもつならば、有限被覆は単連結にはなりえない。
• 商多様体 Z = (X × Y)/S¹ は、X と Y がともに単連結ならば単連結であるが、π₁(X) × π₁(Y) が巡回群でない限り単連結ではない。
• 商多様体 Z におけるローレンツ計量は適切に定義されており、対角 S¹作用の等長作用によって一貫した計量構造を誘導する。
• 分類は離散商群 Γ = Iso(M,g)/Iso₀(M,g) の構造に依存し、Γ が初等的放物型かどうかによって異なる結論が得られる。