[論文レビュー] On The Isoperimetric Spectrum of Graphs

Amir Daneshgar, Hossein Hajiabolhassan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Graph theory and applications参考文献 30被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、k番目の等周定数を、k個の頂点部分集合の対称的かつ互いに素な集合からの平均出力正規化フローの最小値として定義し、新たな等周スペクトルを確立する。Federer-Fleming型の定理を証明し、k番目の定数がk分割最小値とは区別されることを示し、一般化されたチーリャーおよびカウラン＝ヒルベルトの不等式を導出し、スペクトルとラプラシアン固有値を結びつける。

ABSTRACT

In this paper we introduce the k’th isoperimetric constant of a directed graph as the minimum of the mean outgoing normalized flows from a given set of k disjoint subsets of the vertex set of the graph. In this direction we show that the second isoperimetric constant in the general setting coincides with (the mean version of) the classical Cheeger constant of the graph, while for the rest of the spectrum we show that there is a fundamental difference between the k’th isoperimetric constant and the number obtained by taking the minimum over all k-partitions. In this regard, we define the concept of a supergeometric graph by proving a Federer-Fleming-type theorem and analyzing the parameters through the corresponding functional definition. We also study the relationships of the isoperimetric spectrum to the classical spectrum of Laplacian eigenvalues, by proving a generalized Cheeger-type inequality as well as generalized Courant-Hilbert inequalities in the context of graph no-homomorphism theorems.

研究の動機と目的

• 有向グラフにおけるk番目の等周定数を新たなスペクトル不変量として定義・分析すること。
• k番目の等周定数と頂点集合のk分割に関する最小値との違いを明確にし、根本的な構造的差異を明らかにすること。
• Federer-Fleming型の定理を用いて、スーパー幾何的グラフの関数的特徴づけを確立すること。
• 一般化されたチーリャー型およびカウラン＝ヒルベルト型不等式を用いて、等周スペクトルと古典的ラプラシアン固有値スペクトルを結びつけること。
• 等周およびスペクトルグラフ理論の文脈において、グラフのノーホモモーフィズム定理を拡張すること。

提案手法

• k番目の等周定数を、k個の互いに素な頂点部分集合からの平均出力正規化フローの下界として定義する。
• 第二の等周定数が古典的チーリャー定数の平均版に一致することを証明する。
• 等周パラメータと関数的パラメータを結ぶFederer-Fleming型の定理を通じて、スーパー幾何的グラフの概念を導入する。
• k番目の等周定数とk番目の最小のラプラシアン固有値との関係を示す一般化されたチーリャー型不等式を導出する。
• グラフのノーホモモーフィズム定理を用いて、スペクトルギャップを評価する一般化されたカウラン＝ヒルベルト型不等式を確立する。
• 関数解析的技法を用いて、変分原理に基づく等周スペクトルの特徴づけを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフにおけるk番目の等周定数は、頂点集合のk分割に関する最小値とどのように異なるか？
• RQ2 スーパー幾何的グラフを特徴づける関数的特徴づけは何か？ また、これと等周的および幾何的性質とはどのように関係するか？
• RQ3 等周スペクトルは、有向グラフにおけるラプラシアン固有値スペクトルとどの程度関連しているか？
• RQ4 有向グラフにおける高次元の等周定数に対して、一般化されたチーリャー不等式を確立できるか？
• RQ5 グラフのノーホモモーフィズム定理は、等周スペクトルの文脈において、スペクトルの境界をどのように支援するか？

主な発見

• 第二の等周定数は、古典的チーリャー定数の平均版に一致し、既知の事例において新しい定義の妥当性が裏付けられた。
• k番目の等周定数とk分割に関する最小値との間に根本的な差異が存在し、前者がより洗練された構造的性質を捉えていることが示された。
• Federer-Fleming型の定理が証明され、関数的パラメータを用いたスーパー幾何的グラフの定義が可能になった。
• 一般化されたチーリャー型不等式が確立され、k番目の等周定数とk番目の最小のラプラシアン固有値との関係が明示された。
• 一般化されたカウラン＝ヒルベルト型不等式が導出され、グラフのノーホモモーフィズム定理を介してスペクトルギャップの拡張が可能になった。
• 等周スペクトルが、スペクトルグラフ理論における分割に基づく測定の意味ある代替手段であることが示された。