[論文レビュー] On the isothermal compressible multi-component mixture flow: the local existence and maximal $L_p-L_q$ regularity of solutions

Tomasz Piasecki, Yoshihiro Shibata+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2019

Navier-Stokes equation solutions被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と、クロスディフュージョンフラックスによって支配される強力に結合された拡散部分系を組み合わせた、等温的圧縮性多成分ガス混合物をモデル化する系について、局所時間内での解の存在および最大 $L_p$-$L_q$ 正則性を確立する。解析は、対称化および線形化技術に依拠し、拡散行列および圧力則に関する一般仮定の下で適切な解が得られることを証明する。

ABSTRACT

We consider the initial-boundary value problem for the system of equations describing the flow of compressible isothermal mixture of arbitrary large number of components. The system consists of the compressible Navier-Stokes equations and a subsystem of diffusion equations for the species. The subsystems are coupled by the form of the pressure and the strong cross-diffusion effects in the diffusion fluxes of the species. Assuming the existence of solutions to the symmetrized and linearized equations, proven in [35], we derive the estimates for the nonlinear equations and prove the local-in-time existence and maximal $L_p-L_q$ regularity of solutions.

研究の動機と目的

• 等温的圧縮性多成分ガス混合物をモデル化する系について、局所時間内での解の存在を確立すること。
• 強いクロスディフュージョン結合の文脈において、解の最大 $L_p$-$L_q$ 正則性を調査すること。
• 圧力および拡散フラックスの一般的構成則の下での、系の適切な定義の分析。
• 種の質量収支部分系の退化放物型性が引き起こす数学的課題に対処すること。
• 事前推定および固定点議論を用いて、線形化された系から非線形系への正則性結果の拡張。

提案手法

• 速度に依存するフラックスを有する、圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と $n$ 個の種の質量収支方程式の結合系として系を定式化する。
• 解の存在を仮定した線形化された系を用い、これを出発点として対称化および線形化された系を採用する。
• 構成則 $p = \sum_k \varrho_k / m_k$（一定温度下のボイルの法則）を用いて、種の密度の関数として圧力を定義する。
• 行列 $C_{kl}$ を用いて拡散フラックスをモデル化し、$C{\cal Y} = {\cal Y}C^T$、$N(C) = \text{lin}\{\vec{Y}\}$、$R(C) = \vec{U}^\perp$ を満たすことで、質量保存を保証する。
• 行列 $D_{kl} = C_{kl}/(\varrho Y_k)$ を導入し、これは対称的で非負であり、$\vec{U}^\perp$ 上で正定値であるため、強制性が保証される。
• 変数変換および行列解析を適用し、フラックス行列 $\cal{B}$ の行列式が $(x,t)$ に一様に正の定数より大きいことを示し、楕円性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮性多成分ガス混合物の初期境界値問題が、局所時間内に解を有するための条件は何か？
• RQ2 強いクロスディフュージョンを有する非線形系において、解の最大 $L_p$-$L_q$ 正則性クラスは何か？
• RQ3 拡散行列 $C$ 及びそれによって得られる行列 $D$ の構造的性質が、系の強制性および可解性に与える影響は何か？
• RQ4 種の質量収支方程式の退化性は、対称化および行列構造に関する仮定によって克服可能か？
• RQ5 フラックス行列 $\cal{B}$ の正の行列式が、非線形系の適切な定義に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、等温的圧縮性多成分ガス混合物をモデル化する非線形方程式系について、局所時間内での解の存在を証明する。
• 解が特定の最大正則性クラスに属することを確立し、$p, q \in (1, \infty)$ かつ $p > 2$ の範囲で、$L_p$-$L_q$ 正則性が最大であることを示す。
• 解析により、拡散行列 $D$ が対称的で非負であり、$ \vec{U}^\perp$ 上で正定値であることが示され、系に必要な強制性が保証される。
• フラックス行列 $\cal{B}$ の行列式は、$(x,t)$ に一様に正の定数より大きい、すなわち $\det \cal{B} \geq C > 0$ であることが示され、楕円性および可解性に不可欠である。
• 特別な行列構造 (13) の場合、$\cal{B}$ のすべての主小行列式が正であることが証明され、$\cal{B} > 0$ が一様に成り立つことが確認される。
• 条件2（縮小行列 $\bar{D}$ の最小固有値の均一正の性質）が満たされれば、強制性定数 $c(x,t) \geq \kappa > 0$ が $ \overline{\Omega} \times [0,T]$ 上で一様に下から有界であることが示される。