[論文レビュー] On the isotriviality of families of projective manifolds over curves

Eckart Viehweg, Kang Zuo|ArXiv.org|Feb 24, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 95

ひとこと要約

本稿は、曲線上への非等長的族である射影多様体の特異ファイバー数に対する鋭い下界を確立し、ファイバーの canonical バンドルにやや正の性質がある場合、$\mathbb{P}^1$ 上の族では少なくとも3つの特異ファイバー、楕円曲線上の族では少なくとも1つの特異ファイバーを持つことを証明する。主な技術は、ホッジ理論、コイズァ・スペンサー写像の負性、および多重 canonical バンドルの直接像の正則性基準の組み合わせである。

ABSTRACT

Let Y be a projective non-singular curve of genus g, X a projective manifold, both defined over the field of complex numbers, and let f:X ---> Y be a surjective morphism with general fibre F. If the Kodaira dimension of X is non-negative, and if Y is the projective line we show that f has at least 3 singular fibres. In general, for non-isotrivial morphisms f, one expects that the number of singular fibres is at least 3, if g=0, or at least 1, if g=1. Using the strong additivity of the Kodaira dimension, this is verified, if either F is of general type, or if F has a minimal model with a semi-ample canonical divisor. The corresponding result has been obtained by Migliorini and Kovacs, for families of surfaces of general type and for families of canonically polarized manifolds, and by Oguiso-Viehweg for families of elliptic surfaces. As a byproduct we obtain explicit bounds for the degree of the direct image of powers of the dualizing sheaf, generalizing those obtained by Bedulev-Viehweg for families of surfaces of general type.

研究の動機と目的

• 曲線上への非双有理等長的族である射影多様体族の特異ファイバー数に対する下界を確立すること。
• 曲線族の古典的結果（アラケロフ、パーシンら）を、正の canonical バンドルまたは最小モデル構造を持つ高次元ファイバーに一般化すること。
• ベースの genus、特異ファイバー数、ファイバー不変量を用いて、$\det(f_*\omega_X^\nu)$ の次数に対する有効な境界を確立すること。
• 一般型多様体が、十分な特異ファイバー数を持たない限り、滑らかな写像で楕円曲線または $\mathbb{P}^1$ を支配できないことを証明すること。

提案手法

• ホッジバンドルの部分バンドルにおけるホッジ計量の曲率の負性を、コイズァ・スペンサー写像およびその核から導出する。
• $\kappa(F) = \dim(F)$ または $K_{F'}$ が半正則であるという条件により、$f_*\omega_X^\nu$ の正則性基準を適用し、$\det(f_*\omega_X^\nu)$ が十分大きな $\nu$ に対して正則であることを保証する。
• 循環被覆と消失定理を用いて直接像の振る舞いを制御し、グローバル消失をコイズァ・スペンサー写像の局所的負性に置き換える。
• スティーン因子化と有限被覆による引き戻しを用いて、$\mathbb{P}^1$ や楕円曲線上の半安定族の状況に帰着する。
• $\det(f_*\omega_X^\nu)$ の正則性を用いて、特異ファイバー数が少なすぎる場合に矛盾を導く。
• 固定された Hilbert 多項式 $h(t)$ を持つ極小多様体のモジュライ空間を用いて、canonical 系の体積に対する一様な境界 $e$ を構成し、境界の一様性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^1$ 上の非等長的族で $\kappa(F) = \dim(F)$ を満たす射影多様体族の最小特異ファイバー数は何か？
• RQ2 一般型多様体は楕円曲線へ滑らかな写像をもつことができるか？
• RQ3 $\det(f_*\omega_X^\nu)$ が正則である条件は何か？ そしてこれは等長性とどのように関係するか？
• RQ4 $\det(f_*\omega_X^\nu)$ の次数に対する有効な境界を、ベース曲線とファイバー幾何の観点から確立できるか？
• RQ5 $\omega_F$ の半正則性が、$\deg(f_*\omega_X^\nu)$ の境界定数の一様性をどのように保証するか？

主な発見

• 射影多様体 $X$ が非負な Kodaira 次元を持ち、$f: X \to \mathbb{P}^1$ が全射な準同型写像であるとき、$f$ は少なくとも3つの特異ファイバーを持つ。
• 一般型多様体 $X$ が楕円曲線 $E$ へ写像 $f: X \to E$ を持つとき、$f$ は少なくとも1つの特異ファイバーを持つ必要がある。
• 双有理的に等長的でない族で $\omega_F$ が半正則で、固定された Hilbert 多項式 $h(t)$ を持つ場合、$\det(f_*\omega_X^\nu)$ の次数は $ (n(2g-2+s) + \delta) \cdot \nu \cdot e \cdot r $ で有界であり、ここで $n = \dim(F)$、$g$ はベースの genus、$s = \deg(S)$、$\delta$ は非半安定ファイバーの数、$r = \text{rank}(f_*\omega_X^\nu)$、$e$ は $h(t)$ のみに依存する。
• 族が半安定である場合、境界は $n(2g-2+s)\nu e r$ に簡略化され、ベース曲線の幾何に明確な依存関係が現れる。
• $\det(f_*\omega_X^\nu)$ が十分大きな $\nu$ に対して正則であることは、等長性を示唆するが、これは $\kappa(F) = \dim(F)$ または $K_{F'}$ が半正則であるという仮定のもとで保証される。
• 証明により、アラケロフ、パーシン、ベドゥレフの結果を一般化した明示的境界が得られ、canonical または最小モデルを持つ高次元ファイバーへと拡張される。