[論文レビュー] On the Joint Error-and-Erasure Decoding for Irreducible Polynomial Remainder Codes

Jiun-Hung Yu|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、GCDに基づく計算を活用して、誤りと消去を同時に効率的にデコードできる2つの新しい固定変換型同時誤り・消去デコーディングアルゴリズムを、非可約多項式剰余符号に対して提案する。2番目の手法は、リード・ソロモン符号に対しても新規であり、計算量が低く、従来の誤りのみデコーディング手法と完全に互換性がある。

ABSTRACT

A general class of polynomial remainder codes is considered. Such codes are very flexible in rate and length and include Reed-Solomon codes as a special case. As an extension of previous work, two joint error-and-erasure decoding approaches are proposed. In particular, both the decoding approaches by means of a fixed transform are treated in a way compatible with the error-only decoding. In the end, a collection of gcd-based decoding algorithm is obtained, some of which appear to be new even when specialized to Reed-Solomon codes.

研究の動機と目的

• 非可約多項式剰余符号の既存の誤りのみデコーディングアルゴリズムを拡張し、誤りと消去を同時に処理できるようにすること。
• 実用的導入を可能にするために、既存の誤りのみデコーディング実装と完全に互換性を持つデコーディング手法を開発すること。
• 特に消去が存在する場合に、補間処理における反復的基底再計算を回避することで、デコーディングの計算量を低減すること。
• 可変次数のモジュラスに対応する新しい効率的なGCDベースのデコーディングアルゴリズムを提供し、柔軟なコード長およびレート設計を可能にすること。
• リード・ソロモン符号に対して、従来の同時デコーディング手法よりも計算効率に優れた、新しいデコーディングアプローチを提示すること。

提案手法

• 受信多項式 $\hat{Y}(x)$ の変換版を用いる固定変換手法Iを提案し、部分GCDアルゴリズムIを適用して、$r(x) = s(x)\tilde{M}_n(x) + t(x)E(x)$ を満たす $s(x), t(x), r(x)$ を計算する。
• 固定変換手法IIを採用し、$\tilde{M}_n(x)$ と $Y(x)$ を入力として部分GCDアルゴリズムIIに供給することで、入力多項式の次数を低減し、計算コストを削減する。
• 反復処理中に $r(x) = s(x)\tilde{M}_n(x) + t(x)E(x)$ を満たすようにする拡張GCDアルゴリズムを用い、反復の不変条件を保証し、次数のしきい値に基づく終了条件を設定する。
• 手法Iでは、$a(x) = r(x)/(t(x)\Lambda_\rho(x))$ または $a(x) = t(x)\hat{Y}(x) \bmod M_n(x) / (t(x)\Lambda_\rho(x))$ の2通りの復元方法により、元のメッセージ多項式 $a(x)$ を再構築する。手法IIでは、$a(x) = r(x)/t(x)$ または $a(x) = t(x)Y(x) \bmod \tilde{M}_n(x) / t(x)$ を用いる。
• 最小距離 $d_{\text{minD}} > N - K$ を保証するため、次数加重距離解析を適用する。
• GCDベースのデコーディングプロセスの正しさを保証する条件（34）を導入し、$\deg a(x) \geq K$ または多項式除算に失敗した場合にはデコーディング失敗を宣言する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返し補間処理による計算コストの増大を避けることなく、非可約多項式剰余符号に対して効率的な同時誤り・消去デコーディングを実現できるか？
• RQ2 既存の誤りのみデコーディングアルゴリズムを、元の実装と完全に互換性を持つように消去処理に対応させることは可能か？
• RQ3 非可約多項式剰余符号に対して、従来の手法よりも計算量を低減するGCDベースのデコーディング手法は存在するか？特に消去が存在する場合に有効か？
• RQ4 提案された2番目の手法は、リード・ソロモン符号に特化しても、従来の誤りのみデコーディングと互換性を持つが、新たなデコーディング能力を提供するか？
• RQ5 GCDベースのデコーディングアルゴリズムが、元のメッセージ多項式を正しく復元するための必要十分条件は何か？

主な発見

• 固定変換手法Iは、$r(x)/(t(x)\Lambda_\rho(x))$ を用いた $a(x)$ 復元において[12]の手法と同一であるが、$\hat{Y}(x)$ を用いる新しい復元方法を導入しており、これまでは報告されていなかった。
• 入力に $\tilde{M}_n(x)$ と $Y(x)$ を使用する固定変換手法IIは、入力多項式の次数が小さいため、手法Iよりも計算的により効率的であることが示された。
• 手法IIは、リード・ソロモン符号に特化してもまったく新しいものであり、誤りのみデコーディング手法と互換性を保ちつつ、新たなデコーディング経路を提供する。
• GCDベースのデコーディングアルゴリズムは、誤りパターンが $\deg E(x) < \deg \Lambda_\rho(x)$ を満たす場合に正しくデコーディングを行い、そうでない場合には失敗する。
• 手法Iでは $t(x)\Lambda_\rho(x)$ が $r(x)$ を割り切る場合、手法IIでは $t(x)$ が $r(x)$ を割り切る場合にのみ、$a(x)$ が正しく復元される。また、$\deg a(x) < K$ である必要がある。
• デコーディングプロセスは、既存の誤りのみデコーディングと完全に互換性があるため、誤りのみデコーディングを既に使用しているシステムへのシームレスな統合が可能である。