[論文レビュー] On the Jones polynomials of checkerboard colorable virtual knots

Naoko Kamada|ArXiv.org|Aug 10, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、チェッカーボード彩色可能な仮想結び目およびリンクに対して、f多項式（ジョーンズ多項式の類似）の指数集合が、成分数が奇数のとき4Z（4の倍数）に制限され、偶数のとき4Z+2（4で割った余りが2の偶数）に制限されることを確立している。この結果は、古典的リンクにおける古典的性質を仮想的設定へ一般化したものであり、チェッカーボード彩色を重要な構造的条件として用い、抽象的リンク図における状態彩色不変量を用いた、交差数に関する帰納法によるケイフォールドブラケット多項式の証明によって示される。

ABSTRACT

The notion of chckerboard colorability for virtual links and abstract links is introduced. We study the Jones polynomials of virtual links and abstruct links. It is proved that a certain property of the Jones polynomials of classical links is valid for virtual links which admit checkerboard colorings.

研究の動機と目的

• ジョーンズ多項式の古典的性質（成分数に基づく指数集合の制約）を仮想結び目に拡張すること。
• 仮想リンクにおいて古典的指数制約性質が成り立つ十分条件（チェッカーボード彩色可能性）を同定すること。
• チェッカーボード彩色可能な仮想リンクのf多項式の指数が、成分数の偶奇に応じて4Zまたは4Z+2に制限されることを確立すること。
• 抽象的リンク図におけるケイフォールドブラケット多項式を用い、状態和と誘導されるチェッカーボード彩色不変量を用いて、この制約を証明すること。

提案手法

• 仮想リンク図におけるチェッカーボード彩色性を、図の補集合にある領域の2色塗り分けとして定義する。この塗り分けでは、隣接する領域が異なる色を持つ。
• 仮想リンクと抽象的リンク図の間の双対性（写像Φを介して）を用い、問題を抽象的リンク図へ移行する。
• 自己同型でない抽象的リンク図Dに対して、スケイン関係式を用いてケイフォールドブラケット多項式<D>を定義する： <交差> = A<平滑化A> + A⁻¹<平滑化B>、正規化を伴う。
• 各状態Sに対して、チェッカーボード彩色されたALDにおける、状態寄与量I(S) = A^{#S}(-A² - A⁻²)^{#components - 1}におけるAの指数をmod 4でとったインデックスind(S) ∈ Z₄を定義する。
• チェッカーボード彩色されたALDのすべての状態Sにおいてind(S)が一定であることを示す。これは、交差における局所的状態変更がind(S)をmod 4で保存することを示すことによって行う。
• 交差数に関する帰納法を用い、スケイン関係式を適用し、部分図の成分数に応じて、f多項式のインデックスind(f)がnが奇数のとき0、偶数のとき2となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ジョーンズ多項式の指数制約（奇数成分では4Z、偶数成分では4Z+2）は、仮想リンクに対しても成り立つか？
• RQ2 古典的結び目におけるチェッカーボード彩色の自然な一般化は、仮想設定においてジョーンズ多項式の指数制約を保証するか？
• RQ3 チェッカーボード彩色可能な仮想リンクのf多項式が、成分数の偶奇に応じて4Zまたは4Z+2に制限された指数を持つことが示せるか？
• RQ4 抽象的リンク図におけるケイフォールドブラケット多項式の状態和は、チェッカーボード彩色のもとで、mod 4における一様な指数インデックスを保存するか？
• RQ5 交差点におけるスケイン関係式を用いた帰納的計算によって、f多項式のインデックスが、成分数の偶奇に基づく指数制約を保ちながら計算可能か？

主な発見

• 任意のn成分のチェッカーボード彩色可能な仮想リンクに対して、f多項式の指数集合EXP(f)は、nが奇数のとき4Zに含まれ、nが偶数のときは4Z+2に含まれる。
• 図1(a)のチェッカーボード彩色を許容する仮想結び目のf多項式はA⁴ + A¹² - A¹⁶であり、指数{4,12,16} ⊂ 4Zに含まれるため、定理が確認される。
• 図1(b)のチェッカーボード彩色を許容しない仮想結び目のf多項式は -A¹⁰ + A⁶ + A⁴ であり、指数{6,4,10}は4Zまたは4Z+2に含まれない。よって、これはいかなるチェッカーボード彩色可能な図と同値にはなり得ない。
• f多項式のインデックスind(f)は、nが奇数のときmod 4で0、nが偶数のときmod 4で2であり、これはチェッカーボード彩色されたALDのすべての状態で保存される。
• この結果により、図1(b)の仮想結び目は、すべての交差が交互な（alternating）仮想リンク図と同値ではないことが示される。なぜなら、交互図はチェッカーボード彩色可能だからである。
• 任意の抽象的リンク図のf多項式は非ゼロであり、補題5により、n成分のALDに対してf(1) = (-2)^{n-1}であることが示されている。