[論文レビュー] On the Jordan decomposition of tensored matrices of Jordan canonical forms

Kei-ichiro Iima, Ryo Iwamatsu|ArXiv.org|Dec 15, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、任意の特性 $ p \geq 0 $ の代数閉体上での二つのジョルダンブロック $ J(\alpha,s) \otimes J(\beta,t) $ のジョルダン標準形（JCF）を完全に特徴づける。2つのアルゴリズムを導入する：1つは、$ k[x,y]/(x^s, y^t) $ を $ k[\theta] $-加群（$ \theta = x+y $）としての商環の分割を計算するもの、もう1つは構造化された行列の行列式を用いて分解を計算するものである。主な結果は、すべての特性に適用可能な一様なアルゴリズムであり、$ p = 0 $ または $ p \geq s+t-1 $ の場合、閉形式で表され、$ \bigoplus_{i=0}^{s-1} J(\alpha\beta, s+t-1-2i) $ を得る。

ABSTRACT

Let k be an algebraically closed field of characteristic p \ge 0. We shall consider the problem of finding out a Jordan canonical form of J(α,s) \otimes_{k} J(β,t), where J(α,s) means the Jordan block with eigenvalue α\in k and size s.

研究の動機と目的

• 任意の特性 $ p \geq 0 $ における $ J(\alpha,s) \otimes J(\beta,t) $ のジョルダン標準形を特定する未解決問題に取り組み、これまでの結果が特性 0 の場合にのみ有効であったのを拡張する。
• ベースフィールドの特性に依存しない一様なアルゴリズムを提供し、特に $ \alpha\beta \neq 0 $ の場合を含む。
• テンソル積の JCF と、$ \theta = x+y $ を用いた $ k[\theta] $-加群としての $ R = k[x,y]/(x^s, y^t) $ の不分解分解との間に関係を確立する。
• 特に正の特性においても有効な、構造化された行列の行列式を用いた計算手法を開発する。
• 既知の特性 0 における結果（例：Harima–Watanabe、Martsinkovsky–Vlassov）を、任意の代数閉体に一般化する。

提案手法

• テンソル積 $ J(\alpha,s) \otimes J(\beta,t) $ を、$ k[X,Y]/((X-\alpha)^s, (Y-\beta)^t) $ 上での $ XY $ の作用として表現し、変数変換により $ R = k[x,y]/(x^s, y^t) $ に同型であることを示す。
• $ \theta = x+y $ を用いて $ R $ を $ k[\theta] $-加群として扱い、その不分解巡回 $ k[\theta] $-加群 $ k[\theta]/(\theta - \alpha\beta)^{c_i} $ への分解を行う。その次元の列 $ \mathbb{c} = (c_1, \dots, c_r) $ が得られる。
• 共役分割 $ \mathbb{b} = (b_1, \dots, b_{r'}) $ を用い、$ b_i = \dim_k(R / \theta^i R) - \dim_k(R / \theta^{i-1} R) $ と定義し、$ a_i = \dim_k(R / \theta^i R) $ の列を用いて JCF を計算する。
• 二番目のアルゴリズムとして、$ \times \theta^{s+t-2-2i} : R_i \to R_{s+t-2-i} $ の行列式 $ D(i) $ を計算する方法を導入し、二項係数を成分とする行列として表現する。
• $ D_p(i) = 1 $ であるような列 $ \varDelta_p = (D_p(0), \dots, D_p(s-1)) $ を定義し、$ D(i) \not\equiv 0 \pmod{p} $ のとき、$ D_p(i) = 1 $ とし、これにより主加群を特定し、正の特性における JCF を計算する。
• $ \varDelta_p $ を再帰的に適用して、不分解和因子の長さと主次数を計算し、JCF の完全な再構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数閉体の任意の特性 $ p \geq 0 $ における $ J(\alpha,s) \otimes J(\beta,t) $ のジョルダン標準形は何か？
• RQ2 JCF は固有値 $ \alpha, \beta $ にどのように依存するか。特に $ \alpha\beta = 0 $ と $ \alpha\beta \neq 0 $ の場合の違いは？
• RQ3 環 $ R = k[x,y]/(x^s, y^t) $ の代数的不変量を用いて、すべての特性にわたって一様に JCF を計算できるか？
• RQ4 $ \theta = x+y $ を用いた $ R $ の $ k[\theta] $-加群としての構造が、不分解分解を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 構造化された行列の行列式を用いて、正の特性における JCF をアルゴリズム的に計算する方法は何か？
• RQ6 どのような条件下で JCF が特性 0 の形 $ \bigoplus_{i=0}^{s-1} J(\alpha\beta, s+t-1-2i) $ に簡略化されるか？

主な発見

• $ \alpha = 0 $ または $ \beta = 0 $ の場合、$ J(\alpha,s) \otimes J(\beta,t) $ の JCF は体の特性に依存せず、特性 0 の場合と一致する。
• $ \alpha\beta \neq 0 $ の場合、JCF は $ R = k[x,y]/(x^s, y^t) $ を $ k[\theta] $-加群（$ \theta = x+y $）としての不分解分解によって決定され、これは $ st $ の分割 $ \mathbb{c} $ を用いて計算可能である。
• 要素が $ \binom{s+t-2-2i}{t-1-j} $ である行列の行列式 $ D(i) $ を用いたアルゴリズムにより、任意の特性 $ p $ における JCF を計算可能であり、$ D_p(i) = 1 $ であるのは $ D(i) \not\equiv 0 \pmod{p} $ のときである。
• $ p = 0 $ または $ p \geq s+t-1 $ の場合、すべての $ D(i) $ が $ p $ を法として非零であるため、JCF は $ \bigoplus_{i=0}^{s-1} J(\alpha\beta, s+t-1-2i) $ に簡略化され、既知の特性 0 の結果が一般化される。
• $ \alpha\beta \neq 0 $ における $ J(\alpha,4) \otimes J(\beta,5) $ では、$ p \neq 2,5,7 $ のとき $ J(\alpha\beta,8) \oplus J(\alpha\beta,6) \oplus J(\alpha\beta,4) \oplus J(\alpha\beta,2) $ となるが、$ p = 5 $ のときは $ J(\alpha\beta,5)^{\oplus 4} $ に変化し、$ p $ に強く依存することが示された。
• $ D(i) $ から導かれる $ \varDelta_p $ 列を分析することで、正の特性においても JCF が正確に計算可能であり、$ p $ が一部の $ D(i) $ を割る場合でも、分解の完全な再構成が可能である。