[論文レビュー] On the $k$-error linear complexity for $2^n$-periodic binary sequences via Cube Theory

Jianqin Zhou, Wanquan Liu|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$2^n$-周期二値列の$k$-誤り線形複雑度を分析するための立方体理論を導入し、最大安定$k$-誤り線形複雑度を持つ列の構築を可能にする。列を互いに素な立方体に分解し、数え上げ式を導出することで、$2^{l-1} \leq k < 2^l$ のとき、最大$k$-誤り線形複雑度が$2^n - (2^l - 1)$ であることが確立され、固定線形複雑度を持つマルチ・キューブ列を特徴付けるフレームワークが提供される。

ABSTRACT

The linear complexity and k-error linear complexity of a sequence have been used as important measures of keystream strength, hence designing a sequence with high linear complexity and $k$-error linear complexity is a popular research topic in cryptography. In this paper, the concept of stable $k$-error linear complexity is proposed to study sequences with stable and large $k$-error linear complexity. In order to study k-error linear complexity of binary sequences with period $2^n$, a new tool called cube theory is developed. By using the cube theory, one can easily construct sequences with the maximum stable $k$-error linear complexity. For such purpose, we first prove that a binary sequence with period $2^n$ can be decomposed into some disjoint cubes and further give a general decomposition approach. Second, it is proved that the maximum $k$-error linear complexity is $2^n-(2^l-1)$ over all $2^n$-periodic binary sequences, where $2^{l-1}\le k&lt;2^{l}$. Thirdly, a characterization is presented about the $t$th ($t&gt;1$) decrease in the $k$-error linear complexity for a $2^n$-periodic binary sequence $s$ and this is a continuation of Kurosawa et al. recent work for the first decrease of k-error linear complexity. Finally, A counting formula for $m$-cubes with the same linear complexity is derived, which is equivalent to the counting formula for $k$-error vectors. The counting formula of $2^n$-periodic binary sequences which can be decomposed into more than one cube is also investigated, which extends an important result by Etzion et al..

研究の動機と目的

• 小さな摂動に対する線形複雑度の不安定性に対処するため、安定$k$-誤り線形複雑度の概念を導入すること。
• $2^n$-周期二値列における$k$-誤り線形複雑度を研究するための新しい分析的ツール—立方体理論—を構築すること。
• 複数の独立した立方体を持つ列と固定線形複雑度を特徴付けること。これは、二つの$k$-誤り複雑度値（$L(s)$ または 0）しか持たない列に関する先行研究を拡張するものである。
• 複数の立方体に分解された列の正確な数え上げ式を導出することにより、エツィオンらの結果を一般化すること。

提案手法

• $2^n$-周期二値列を互いに素な立方体に分解する手法を提案し、各立方体が全体の線形複雑度に与える寄与を独立して分析可能にする。
• 立方体が相対的に独立になるように保証する標準的な立方体分解アプローチを確立し、列のモジュラー構築を可能にする。
• 立方体理論を用いて、同一線形複雑度を持つ$m$-立方体の数え上げ式を導出する。これは、$k$-誤りベクトルの数に等価である。
• 理論を応用して、$k$-誤り線形複雑度の$t$-番目の減少（$t>1$）を特徴付ける。これは、最初の減少に関する先行研究を拡張するものである。
• 立方体の独立的構築を保証する条件（例：$2^{j_1} > 2^t$）を導入し、複雑度計算中に立方体同士が干渉しないようにする。
• 線形複雑度が指定された3つの独立立方体を持つ$2^n$-周期二値列の数について、明示的な公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2^n-周期二値列の最大安定$k$-誤り線形複雑度は何か。また、それはどのように達成できるか？
• RQ2 2^n-周期二値列を、$k$-誤り線形複雑度の分析を容易にするために、どのようにして互いに素な立方体に体系的に分解できるか？
• RQ3 同一線形複雑度を持つ$m$-立方体を持つ列の数え上げ式は何か。また、$k$-誤りベクトルとはどのように関係するか？
• RQ4 2^n-周期二値列の$k$-誤り線形複雑度の$t$-番目の減少（特に$t>1$）は、どのように特徴付けられるか？
• RQ5 複数の立方体が、個々の線形複雑度に影響を与えることなく、独立して構築可能であるための条件は何か？

主な発見

• 2^n-周期二値列の最大$k$-誤り線形複雑度は、$2^{l-1} \leq k < 2^l$ のとき$2^n - (2^l - 1)$ であり、これは$k$-誤り摂動下で達成可能な最高値である。
• 任意の$2^n$-周期二値列を互いに素な立方体に分解する一般的手法が提供され、線形複雑度のモジュラー分析を可能にする。
• $t=3$ の場合、指定された線形複雑度を持つ3つの独立立方体を持つ$2^n$-周期二値列の数は、2の累乗とハミング重み条件を含む閉形式の公式で与えられる。
• 同一線形複雑度を持つ$m$-立方体の数え上げ式が導出され、$k$-誤りベクトルの数に等しいことが示された。
• 本稿は、エツィオンらの結果（線形複雑度が$ L(s) $ または 0 のみの列）を、複数の立方体と固定非ゼロ線形複雑度を持つ列に拡張した。
• 理論により、わずかな変更が線形複雑度を元の値未満に低下させないよう保証することで、最大安定$k$-誤り線形複雑度を持つ列の構築が可能になる。