[論文レビュー] On the K-theory of higher rank graph C*-algebras

D. Gwion Evans|ArXiv.org|Jun 23, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、ホモロジー的スペクトル系列および頂点行列のスミス標準形を用いて、高ランクグラフ C*-代数の K-理論に対する明示的公式を導出する。特に 2-グラフおよび 3-グラフ代数に対して、単位的 k-グラフ C*-代数では $K_0$ と $K_1$ の torsion-free ランクが等しいことを確立し、Cuntz 代数に同型である例を含む具体的な例について完全な K-群の計算を提供する。

ABSTRACT

Given a row-finite $k$-graph $Λ$ with no sources we investigate the $K$-theory of the higher rank graph $C^*$-algebra, $C^*(Λ)$. When $k=2$ we are able to give explicit formulae to calculate the $K$-groups of $C^*(Λ)$. The $K$-groups of $C^*(Λ)$ for $k>2$ can be calculated under certain circumstances and we consider the case $k=3$. We prove that for arbitrary $k$, the torsion-free rank of $K_0(C^*(Λ))$ and $K_1(C^*Λ))$ are equal when $C^*(Λ)$ is unital, and for $k=2$ we determine the position of the class of the unit of $C^*(Λ)$ in $K_0(C^*(Λ))$.

研究の動機と目的

• 高ランクグラフ C*-代数の K-理論を、特に $k=2$ および $k=3$ の場合に、ホモロジー的手法を用いて計算すること。
• k-グラフ C*-代数の K-群が明示的に計算可能となる条件を特定すること。
• 単位的 $C^*(\Lambda)$ の場合に、$K_0(C^*(\Lambda))$ と $K_1(C^*(\Lambda))$ の torsion-free ランクが等しいことを確立すること。
• 具体的な例（Cuntz 代数に同型である場合を含む）について、明示的な K-群の計算を提供すること。
• Kirchberg-Phillips 分類定理を適用し、K-理論によって $k$-グラフ C*-代数を分類すること。

提案手法

• $K_*(C^*(\Lambda))$ に収束するホモロジー的スペクトル系列を用い、$E^2_{p,q} \cong H_p(\mathbb{Z}^k, K_q(B))$ となるように、$B$ を AF 代数とする。
• Kumjian と Pask (2000) が確立したように、$C^*(\Lambda)$ が AF 代数の $\mathbb{Z}^k$ によるクロス積と安定同型であることを利用する。
• k-グラフ $\Lambda$ の頂点行列を用いて、群コホモロジー $H_*(\mathbb{Z}^k, K_0(B))$ を計算する。これらの行列は圏の構造を符号化する。
• 微分を表す行列に対してスミス標準形を適用し、余核と核を計算する。
• $K_0(C^*(\Lambda))$ および $K_1(C^*(\Lambda))$ の明示的公式を、$k=2$ および $k=3$ の場合にスペクトル系列およびスミス標準形を用いて導出する。
• K-理論が一致する場合に、Kirchberg-Phillips 分類定理を適用して $k$-グラフ C*-代数と既知の Cuntz 代数との同型を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-グラフ C*-代数 $C^*(\Lambda)$ の K-理論群 $K_0(C^*(\Lambda))$ および $K_1(C^*(\Lambda))$ の明示的公式は何か？
• RQ2 より強い構造的仮定の下で、3-グラフ C*-代数の K-理論はどのように計算できるか？
• RQ3 単位的 $C^*(\Lambda)$ の場合に、$K_0(C^*(\Lambda))$ と $K_1(C^*(\Lambda))$ の torsion-free ランクの関係は何か？
• RQ4 $k$-グラフ C*-代数の K-理論がその同型類を決定する条件は何か？
• RQ5 K-理論の計算を用いて、$k$-グラフ C*-代数が既知の Cuntz 代数に同型であることを証明できるか？

主な発見

• 2-グラフ $\Lambda$ の場合、$K_0(C^*(\Lambda))$ および $K_1(C^*(\Lambda))$ の K-群は、頂点行列 $M_1$ および $M_2$ のスミス標準形によって完全に決定される。
• $k=3$ の場合、関連するチェーン複体の微分がスミス標準形によって余核と核が計算可能であるというより強い仮定の下で、K-群を計算できる。
• 単位的 $k$-グラフ C*-代数では、$K_0(C^*(\Lambda))$ の torsion-free ランクと $K_1(C^*(\Lambda))$ の torsion-free ランクが等しい。
• 特定の 2-グラフ $\Lambda$ に対して、$K_0(C^*(\Lambda))$ は位数 16 の群であり、$K_0(C^*(\Lambda)) \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ かつ $K_1(C^*(\Lambda)) \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ である。
• $\mathbb{Z}_2 \times \mathcal{O}_3 \times \mathcal{O}_3 \times \mathcal{O}_3 \to \mathbb{Z}_2$ を通じて定義される 3-グラフ $\Lambda$ に対して、K-群は自明であり、$K_0(C^*(\Lambda)) \cong 0$ かつ $K_1(C^*(\Lambda)) \cong 0$ である。Kirchberg-Phillips 定理より、$C^*(\Lambda) \cong \mathcal{O}_2$ である。
• 本稿は、Kumjian と Pask (2000) および Robertson と Steger (1999) の仮定が満たされる場合に、$C^*(\Lambda)$ が単位的 Kirchberg 代数であることを確認し、K-理論による分類が可能であることを示している。