[論文レビュー] On the K-theory of the C*-algebra generated by the left regular representation of an Ore semigroup

Joachim Cuntz, Siegfried Echterhoff+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、可算な左オーレ半群の左正則表現によって生成される縮小C*-代数のK理論を、正則性条件の下で計算し、その結果が安定化部分群の縮小群C*-代数のK理論の直和と同型であることを示している。この結果は、交叉積埋め込みと係数付きバーム＝コンヌ予想に依拠しており、射影への群作用を通じてK理論的還元を可能としている。

ABSTRACT

We compute the K-theory of C*-algebras generated by the left regular representation of left Ore semigroups satisfying certain regularity conditions. Our result describes the K-theory of these semigroup C*-algebras in terms of the K-theory for the reduced group C*-algebras of certain groups which are typically easier to handle. Then we apply our result to specific semigroups from algebraic number theory.

研究の動機と目的

• 左オーレ半群の左正則表現によって生成される縮小C*-代数のK理論を計算すること。
• このような半群C*-代数のK理論を、安定化部分群の縮小群C*-代数のK理論に関連付けること。
• 半群C*-代数が安定化部分群の縮小群C*-代数の直和とKK同値であるような条件を確立すること。
• 代数的数論の半群、特に整数環上のax+b半群にその結果を適用すること。
• これらのC*-代数のイデアル構造および純粋無限性や実数階数0などの性質を分析すること。

提案手法

• $ C^*_{r}(P) $ を、左オーレ半群 $ P $ の包拡大群 $ G $ に関する縮小交叉積 $ D \rtimes_r G $ のフルコーナーとして埋め込む。
• 左オーレ条件を用いて、構成可能な右イデアル $ X \neq \text{empty} $ に対応する射影 $ \big\bracevert E_X \big\bracevert $ によって生成される可換C*-代数 $ D $ を構成する。
• 一般のK理論的定理を適用し、$ G $ が係数付きバーム＝コンヌ予想を満たすと仮定することで、$ K_*(D \rtimes_r G) $ を $ K_*(c_0(I) \rtimes_r G) $ に還元する。
• 不変性理論を活用し、$ c_0(I) \rtimes_r G $ が、$ G_X $ を $ X $ の安定化部分群とする、$ \bigoplus_{[X] \notin G \backslash \frak{I}} C^*_{r}(G_X) $ とモリタ同値であることを示す。
• バーム＝コンヌ予想の強い形を仮定することで、$ C^*_{r}(P) $ と $ \bigoplus_{[X] \notin G \backslash \frak{I}} C^*_{r}(G_X) $ の間のKK同値性を確立する。
• $ C^*_{r}(P) $ における対角写像を用いて、そのKホモロジーに環構造を導入し、さらなる分類を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左オーレ半群の左正則表現によって生成される縮小C*-代数のK理論は、どのように群C*-代数を用いて計算できるか？
• RQ2 半群C*-代数 $ C^*_{r}(P) $ が、安定化部分群の縮小群C*-代数の直和とKK同値であるための条件は何か？
• RQ3 数体の整数環上のax+b半群C*-代数のK理論的構造は何か？
• RQ4 半群C*-代数 $ C^*_{r}(R \rtimes R^\times) $ は実数階数0を満たすか？また、関連する環C*-代数とのK理論的比較は？
• RQ5 ax+b半群の左正則表現と右正則表現のK理論的不変量はどのように比較できるか？

主な発見

• $ P $ を可算な左オーレ半群とし、構成可能な右イデアルが独立で、$ G $ が係数付きバーム＝コンヌ予想を満たすものとする。このとき、$ C^*_{r}(P) $ のK理論は、$ G_X $ を $ X \neq \text{empty} $ の $ G $-作用における安定化部分群とするとき、$ \bigoplus_{[X] \notin G \backslash \frak{I}} K_*(C^*_{r}(G_X)) $ と同型である。
• $ G $ がバーム＝コンヌ予想の強い形を満たすならば、$ C^*_{r}(P) $ は $ \bigoplus_{[X] \notin G \backslash \frak{I}} C^*_{r}(G_X) $ とKK同値であり、強い構造的類似性を示す。
• 数体の整数環 $ R $ 上のax+b半群 $ R \rtimes R^\times $ に対して、$ C^*_{r}(R \rtimes R^\times) $ は純粋無限的であり、イデアル性質を満たす。
• $ K_0(C^*_{r}(R \rtimes R^\times)) $ は有限生成であるが、関連する環C*-代数 $ \frak{A}[R] $ の $ K_0 $ はそうではないため、$ K_0 $ 上での商写像は全射ではない。
• $ C^*_{r}(R \rtimes R^\times) $ は実数階数0を満たさない。これは、非$ K_0 $-上昇性およびパスクレ＝ロールダムの結果により示される。
• $ R \rtimes R^\times $ の右正則表現によって生成されるC*-代数は左のものとは異なるが、同じK理論的不変量を持つ。