[論文レビュー] On the kernel of the push-forward homomorphism between Chow groups

Kalyan Banerjee, Jaya Nn Iyer|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかな射影的曲線 $C$ のヤコビ多様体 $J(C)$ に埋め込まれる特別なアーモニック除数 $H_C$（$n\Theta$ に線型同値）による閉部分集合としての押し出し準同型写像が、すべての $k \geq 0$ に対して、有理チャウ群上の自明な核を持つことを証明する。証明は、高次チャウ群の局所化完全系列と、曲線の対称べきに関するコリーノの定理の拡張に依拠している。

ABSTRACT

In this note we prove that the kernel of the push-forward homomorphism on $d$-cycles modulo rational equivalence, induced by the closed embedding of an ample divisor linearly equivalent to some multiple of the theta divisor inside the Jacobian variety $J(C)$ is trivial. Here $C$ is a smooth projective curve of genus $g$.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的多様体へのアーモニック除数の閉埋め込みによって誘導される有理チャウ群上の押し出し準同型写像の核を調査すること。
• ヤコビ多様体におけるシータ除数のケースについて、ノリとパラナジャペのチャウ群に関する予想の双対版を検証すること。
• $J(C)$ 内のシータ除数の倍数に線型同値な除数に対する $k$-サイクルへの押し出し写像の単射性を確立すること。
• コリーノの定理（曲線の対称べきに関するもの）を高次チャウ群およびその開部分集合へと拡張し、主たる証明を可能にする。

提案手法

• 高次チャウ群の局所化完全系列を用いて、ガロア被覆 $\tilde{C} \to C$ のヤコビ多様体の $G$-固定部分多様体上のサイクル類を分析する。
• コリーノの定理を適用し、$m \leq n$ である包含写像 $\mathrm{Sym}^m C \hookrightarrow \mathrm{Sym}^n C$ に対する $k$-サイクルへの押し出し写像の単射性を証明する。
• コリーノの結果を、対称べきの高次チャウ群およびその開部分集合へと拡張し、高次チャウ群レベルでの引き戻し写像 $\rho^{s*}$ のwell-defined性を確立する。
• 境界写像 $\partial_i^*$ と引き戻し写像 $\rho^{s*}$ を用いて、対称べきおよびその補集合の高次チャウ群を含む可換図式を構成し、サイクル類を分析する。
• 対称べきの次数に関する帰納法を用いて、高次チャウ群 $\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C, s) \to \mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^n C, s)$ への押し出し写像 $i_{m,n*}^s$ の単射性を証明する。
• $\mathrm{Sym}^{m-1}C$ における押し出し写像の単射性を用いて、$\mathrm{Sym}^m C$ 内のサイクルの押し出しによる自明性を導出し、$H_C \subset J(C)$ における主結果に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア被覆 $\tilde{C} \to C$ からのシータ除数の制限として得られる特別なアーモニック除数 $H_C$ を $J(C)$ に埋め込んだとき、有理チャウ群上の押し出し準同型写像が単射であるか。
• RQ2 $J(C)$ 内の $n\Theta$ に線型同値な除数に対して、$k$-サイクルへの押し出し写像の単射性は成り立つか。特に $H_C$ が $J(\tilde{C})$ からのシータ除数の引き戻しとして得られる場合に注目する。
• RQ3 曲線の対称べきに関するコリーノの定理を高次チャウ群および対称べきの開部分集合へと拡張可能か。
• RQ4 このような除数 $H_C$ に対して、押し出し写像 $j_{C*}: \mathrm{CH}_k(H_C) \otimes \mathbb{Q} \to \mathrm{CH}_k(J(C)) \otimes \mathbb{Q}$ の核の構造はいかなるものか。
• RQ5 高次チャウ群における押し出し写像の単射性は、ヤコビ多様体およびその対称べきの幾何学的性質とどのように関係しているか。

主な発見

• すべての $k \geq 0$ に対して、$J(\tilde{C})$ からのシータ除数の制限として得られる滑らかで、既約で、アーモニックな除数 $H_C \in |n\Theta|$ に対して、押し出し準同型写像 $j_{C*}: \mathrm{CH}_k(H_C) \otimes \mathbb{Q} \to \mathrm{CH}_k(J(C)) \otimes \mathbb{Q}$ の核は自明である。
• すべての $m \leq n$ およびすべての $s \geq 0$ に対して、高次チャウ群への押し出し写像 $i_{m,n*}^s: \mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C, s) \to \mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^n C, s)$ は単射である。
• 開部分集合に対して、高次チャウ群上の引き戻し写像 $\rho^{s*}$ はwell-definedである。具体的には、$\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C \setminus W, s)$ から $\mathrm{CH}^*(W_0(m), s)$ への写像として定義可能であり、ここで $W_0(m)$ は対称べき内の補集合である。
• 高次チャウ群 $\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^{m-1}C, s)$ における押し出し写像の単射性を用いることで、局所化完全系列を介して $\mathrm{CH}^*(\mathrm{Sym}^m C, s)$ における単射性が示され、帰納的証明が可能になる。
• コリーノの定理を高次チャウ群および開部分集合へと拡張することで、ヤコビ多様体における主結果の証明に不可欠な技術的道具が得られる。
• 非常に一般な除数 $|n\Theta|$ に対しては、$CH_0$ における単射性は期待できない（C. ヴォイジンが指摘しているが）、本稿で構成された特別な $H_C$ に対しては、結果は成り立つ。