[論文レビュー] On the Kirwan map for moduli of Higgs bundles

Emily Cliff, Thomas Nevins+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、再帰的群 G の中心 Z(G) が非連結であるとき、G-バンドルの特徴付けのコホロロジーから半安定 G-Higgs バンドルのコホロロジーへの Kirwan写像が全射でないことを証明している。Gₘ-作用の下での固定点に集約される、等変コホロロジーの Borel-Quillen スタイルの局在定理を用いて、Higgs バンドルの特徴付け空間の変種コホロロジーおよび交差コホロロジー群が、有限群 Bun(π₀(Z), C) の非自明な表現を含むことを示した。これらの表現は、G-バンドルのコホロロジーから引き継がれないため、Kirwan写像の全射性が妨げられる。

ABSTRACT

Let $C$ be a smooth complex projective curve and $G$ a connected complex reductive group. We prove that if the center $Z(G)$ of $G$ is disconnected, then the Kirwan map $H^*\big(\operatorname{Bun}(G,C),\mathbb{Q}\big) ightarrow H^*\big(\mathcal{M}_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}},\mathbb{Q}\big)$ from the cohomology of the moduli stack of $G$-bundles to the moduli stack of semistable $G$-Higgs bundles, fails to be surjective: more precisely, the "variant cohomology" (and variant intersection cohomology) of the stack $\mathcal{M}_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}}$ of semistable $G$-Higgs bundles, is always nontrivial. We also show that the image of the pullback map $H^*\big(M_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}},\mathbb{Q}\big) ightarrow H^*\big(\mathcal{M}_{\operatorname{Higgs}}^{\operatorname{ss}},\mathbb{Q}\big)$, from the cohomology of the moduli space of semistable $G$-Higgs bundles to the stack of semistable $G$-Higgs bundles, cannot be contained in the image of the Kirwan map. The proof uses a Borel-Quillen--style localization result for equivariant cohomology of stacks to reduce to an explicit construction and calculation.

研究の動機と目的

• G-バンドルのモジュライスタックのコホロロジーから半安定 G-Higgs バンドルのコホロロジーへの Kirwan写像が全射となる条件を特定すること。
• 成分群 π₀(Z(G)) が Kirwan写像の全射性を妨げる役割を果たす仕組みを調査すること。
• Z(G) が非連結である場合に、Higgs バンドルのモジュライ空間に非自明な不変および変種コホロロジーが存在することを確立すること。
• 等変コホロロジーと混合Hodge理論を用いて、Higgs バンドルのモジュライスタックにおけるコホロロジー構造の理解を拡張すること。

提案手法

• Gₘ-作用の下での固定点に集約される、スタックの等変コホロロジーに対する Borel-Quillen スタイルの局在定理を適用し、計算を固定点に簡略化する。
• G-バンドル P₀ と関連するHiggs対 (P₀, θ₀) を構成し、Bun(Z, C) を Mss_Higgs(G, C) の Gₘ-作用の固定点に閉埋め込みとして実現する。
• Higgs バンドルのスタックおよび空間への Bun(π₀(Z), C) の作用を用いて、Kirwan写像の像に含まれない非自明なコホロロジー類を検出する。
• Gₘ-等変コホロロジーの Leray 譜を分析し、固定点のコホロロジーと全コホロロジーとの関係を、H∗_Gₘ(pt, Q) の純粋Hodge構造を活用して明らかにする。
• Kirwan写像の全射性が失敗することを示すために、Bun(π₀(Z), C) の正則表現が、コホロロジーの純粋部分に現れることを証明する。
• 固定点が有理的滑らか領域にあることから、交差コホロロジーに対しても同様の議論を適用し、コロイドの極限が固定スタックの特異コホロロジーに還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G がどのような条件下で、Bun(G, C) から Mss_Higgs(G, C) への Kirwan写像が全射となるか？
• RQ2 成分群 π₀(Z(G)) は、半安定 G-Higgs バンドルのモジュライスタックおよび空間のコホロロジーにどのように影響を与えるか？
• RQ3 変種コホロロジーおよび変種交差コホロロジーは、Kirwan写像の全射性の障害を検出できるか？
• RQ4 Bun(π₀(Z), C) の正則表現は、Higgs バンドルのモジュライ空間のコホロロジーの純粋部分に現れるか？
• RQ5 Higgs モジュライスタック上の Gₘ-作用は、G-バンドルのスタックに見えない、隠れたコホロロジー構造をどのように明らかにするか？

主な発見

• π₀(Z(G)) が非自明であるとき、変種コホロロジー H∗(Mss_Higgs(G, C)η)variant は、Bun(π₀(Z), C) の正則表現の商 Q[Bun(π₀(Z), C)]/Q を含む。
• 同様に、変種交差コホロロジー IH∗(Mss_Higgs(G, C)η)variant に対しても、商 Q[Bun(π₀(Z), C)]/Q が含まれる。
• これらの非自明な変種コホロロジー類の存在により、η ∈ η₀ + π₁(Z₀) に対して Kirwan写像 κη は全射でない。
• 引き戻し写像 p∗η: H∗(Mss_Higgs(G, C)η) → H∗(Mss_Higgs(G, C)η) の像は、Kirwan写像 κ∗η の像に含まれないことが確認され、コホロロジー的障害が裏付けられる。
• Q[Bun(π₀(Z), C)] は、H∗(Mss_Higgs(G, C), Q) の混合Hodge構造の純粋部分に現れ、Kirワン写像が純粋コホロロジーに全射でないことを示す。
• 同様の結果は、モジュライ空間 Mss_Higgs(G, C) に対しても成り立ち、Bun(π₀(Z), C) はそのコホロロジーに非自明に作用するが、H∗(Bun(G, C), Q) には自明に作用する。