[論文レビュー] On the KK-theory of strongly self-absorbing C*-algebras

Marius Dădărlat, Wilhelm Winter|ArXiv.org|Apr 4, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$K_1$-注入的で強く自己吸収的である$C^*$-代数$\mathcal{D}$に対して、任意の二つのユニタリ$*$-準同型$\sigma, \gamma: \mathcal{D} \to A \otimes \mathcal{D}$が、近似的にではなく、漸近的にユニタリ同値であることを確立している。これは、$\mathcal{D}$のすべてのユニタリ自己準同型が漸近的に内因的であることを示し、$\mathcal{D}$の自己準同型と自己準同型の空間が点-ノルム位相でコンパクトに収縮可能であることを示している。この結果により、$KK(\mathcal{D}, A \otimes \mathcal{D})$が$*$-準同型と漸近的ユニタリ同値性によって完全に記述可能であることが保証される。

ABSTRACT

Let $\Dh$ and $A$ be unital and separable $C^{*}$-algebras; let $\Dh$ be strongly self-absorbing. It is known that any two unital $^*$-homomorphisms from $\Dh$ to $A \otimes \Dh$ are approximately unitarily equivalent. We show that, if $\Dh$ is also $K_{1}$-injective, they are even asymptotically unitarily equivalent. This in particular implies that any unital endomorphism of $\Dh$ is asymptotically inner. Moreover, the space of automorphisms of $\Dh$ is compactly-contractible (in the point-norm topology) in the sense that for any compact Hausdorff space $X$, the set of homotopy classes $[X,\Aut(\Dh)]$ reduces to a point. The respective statement holds for the space of unital endomorphisms of $\Dh$. As an application, we give a description of the Kasparov group $KK(\Dh, A\ot \Dh)$ in terms of $^*$-homomorphisms and asymptotic unitary equivalence. Along the way, we show that the Kasparov group $KK(\Dh, A\ot \Dh)$ is isomorphic to $K_0(A\ot \Dh)$.

研究の動機と目的

• 強自己吸収的$C^*$-代数$\mathcal{D}$から$A \otimes \mathcal{D}$へのユニタリ$*$-準同型$\sigma, \gamma$の漸近的ユニタリ同値性を、$K_1$-注入性のもとで確立すること。
• $KK(\mathcal{D}, A \otimes \mathcal{D})$のカスパロフ群を$*$-準同型と漸近的ユニタリ同値性を用いて特徴付けること。
• 点-ノルム位相において、$\mathcal{D}$の自己準同型およびユニタリ自己準同型の空間がコンパクトに収縮可能であることを示すこと。
• $i = 0,1$に対して$KK_i(\mathcal{D}, \mathcal{D} \otimes A) \cong K_i(\mathcal{D} \otimes A)$を、UCTを仮定せずに証明すること。
• UCTの仮定なしに$\mathcal{O}_2$および普遍的UHF代数$\mathcal{Q}$を$K$-理論的条件によって特徴付けること。

提案手法

• 強自己吸収的$\mathcal{D}$に対して、ユニタリ$*$-準同型$\sigma, \gamma: \mathcal{D} \to A \otimes \mathcal{D}$の既知の近似的ユニタリ同値性を、$K_1$-注入性のもとで漸近的ユニタリ同値性に強化すること。
• $A \otimes \mathcal{D}$内の連続なユニタリの経路を用いて、$\sigma$と$\gamma$の相互作用を実現し、経路が単位元から出発することを保証すること。
• 連続的$C^*$-代数のフィールド理論および漸近的ユニタリ同値性の理論を応用し、$\mathrm{Aut}(\mathcal{D})$および$\mathrm{End}(\mathcal{D})$のホモトピー的自明性を導出すること。
• $KK$類を$*$-準同型の差に分解することにより、$KK(\mathcal{D}, A \otimes \mathcal{D})$と$K_0(A \otimes \mathcal{D})$の同型を確立すること。
• 強自己吸収的代数の普遍的性質と、u.c.p.写像の漸近的乗法性を用いて、$K_0$-可除性および擬微分性のもとで$\mathcal{D} \cong \mathcal{D} \otimes \mathcal{Q}$を証明すること。
• Künnethの公式と$K$-理論的条件を用いて、$\mathcal{Q}$および$\mathcal{O}_2$を$K_0$および$K_1$-理論的データによって、UCTに依存せずに特徴付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強自己吸収的かつ$K_1$-注入的な$\mathcal{D}$に対して、二つのユニタリ$*$-準同型$\sigma, \gamma: \mathcal{D} \to A \otimes \mathcal{D}$は漸近的にユニタリ同値であるか？
• RQ2 カスパロフ群$KK(\mathcal{D}, A \otimes \mathcal{D})$は、$*$-準同型と漸近的ユニタリ同値性によって完全に記述可能か？
• RQ3 $K_1$-注入的で強自己吸収的な$\mathcal{D}$の自己準同型の空間は、点-ノルム位相でコンパクトに収縮可能か？
• RQ4 UCTを仮定せずに、$i = 0,1$に対して$KK_i(\mathcal{D}, \mathcal{D} \otimes A)$が$K_i(\mathcal{D} \otimes A)$に同型であるか？
• RQ5 UCTに依存せずに、$\mathcal{O}_2$および普遍的UHF代数$\mathcal{Q}$を純粋に$K$-理論的条件によって特徴付けることができるか？

主な発見

• 強自己吸収的かつ$K_1$-注入的な$\mathcal{D}$に対して、任意の二つのユニタリ$*$-準同型$\sigma, \gamma: \mathcal{D} \to A \otimes \mathcal{D}$は漸近的にユニタリ同値である。
• $\mathcal{D}$のすべてのユニタリ自己準同型は漸近的に内因的である。すなわち、単位元から出発する連続なユニタリの経路によって実現される。
• $\mathcal{D}$の自己準同型の空間はコンパクトに収縮可能である。任意のコンパクトハウスドルフ空間$X$に対して、$[X, \mathrm{Aut}(\mathcal{D})]$は点-ノルム位相で自明である。
• $KK(\mathcal{D}, A \otimes \mathcal{D})$は$K_0(A \otimes \mathcal{D})$に同型であり、$*$-準同型$\varphi$と包含写像$\iota$を用いて$[\varphi] - n[\iota]$の形で表現される。
• 二つの$*$-準同型$\varphi, \psi: \mathcal{D} \to \mathcal{K} \otimes A \otimes \mathcal{D}$が$\varphi(1) = \psi(1) = e$を満たすとき、それらが同じ$KK$類を表すための必要十分条件は、$e(\mathcal{K} \otimes A \otimes \mathcal{D})e$内のユニタリの経路（$e$から出発）による漸近的ユニタリ同値性である。$i = 0,1$に対して$KK_i(\mathcal{D}, \mathcal{D} \otimes A) \cong K_i(\mathcal{D} \otimes A)$が成り立ち、UCTの仮定は不要である。
• 普遍的UHF代数$\mathcal{Q}$は、$K_0(\mathcal{Q}) \cong \mathbb{Q}$および$K_1(\mathcal{Q}) \otimes \mathbb{Q} = 0$を満たす、唯一の分離可能でユニタリ、強自己吸収的かつ擬微分的$C^*$-代数として特徴付けられる。この特徴付けはUCTに依存しない。