[論文レビュー] On the Kolmogorov set for Many-Body Problems

Gabriella Pinzari|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 18被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、適切に退化した系における洗練されたKAM理論を用いて、空間的N体惑星問題における準周期的解（コルモゴロフの集合）の正測度族の存在を確立する。角運動量の還元、正則化、および部分的・全的デプリュ変数変換を適用することで、KAM理論に必要な非退化性および非共鳴条件を証明し、位相空間内に正の測度を持つ(3N−1)次元および(3N−2)次元の不変トーラスを構成する。

ABSTRACT

I defended my PhD Thesis in Rome, Università Roma Tre, on April, 23, 2009, under the direction of Professor Luigi Chierchia. The judging committee was composed by Professors M. Berti, A. Celletti, C. Falcolini, J. Féjoz. Professors M. Berti and J. Féjoz refereed my thesis. The main result of my thesis is the first direct proof (the first general proof was given in [J. Féjoz, ETDS, 2004]) of a famous statement by V. I. Arnold (1963), usually referred to as "Arnold's Planetary Theorem". My proof of Arnold's Planetary Theorem relies on the rediscovery, during the year 2008, of a symplectic set of action-angle variables (described in §4 of my thesis) which perform explicitly the reduction of rotation invariance of the system. Indeed, even though in a different form, they had been previously considered by [F. Boigey, Cel. Mech. Dyn. Astr., 1982] and [A. Deprit, Cel. Mech. Dyn. Astr., 1983]. The version I found in 2008 corresponds to the "planetary" form of Boigey-Deprit variables, since it includes the elliptic elements of the instantaneous ellipses of the planets around the sun and for this reason is especially fitted to this problem . I then regularized "my" planetary variables to include co-planar and co-circular motions. This regularization leads to a set of mixed action-angle and rectangular variables analogous to Poincaré' variables but better fitted to rotation invariance of the system, since they exhibit a cyclic couple of conjugated variables. I finally applied my regularized variables to the problem, checked non-trivial torsion and obtained the proof of the theorem. I wish to thank J. Féjoz for mentioning my contribution to the proof of Arnold's Theorem, and especially my rediscovery of Deprit's reduction, in his paper [J. Fejoz, DCDS-A, 2013].

研究の動機と目的

• 空間的N体惑星問題における正測度の準周期的解（コルモゴロフの集合）の存在を確立すること。
• 強い重力結合を有する多体系の文脈において、適切に退化したKAM理論を拡張すること。
• 平面および空間的場合の還元済みハミルトニアンにおける非退化性および非共鳴条件を証明すること。
• 部分的および全還元技術を用いて、次元(3N−1)および(3N−2)の不変KAMトーラスを構成すること。
• 正則化および作用角変数を用いて退化性と特異性の問題を克服することで、KAM理論が完全な空間的惑星問題に適用可能であることを検証すること。

提案手法

• 惑星問題の摂動的構造を扱うために、二時間スケールのKAM定理を用いる。
• 重心運動を除去し自由度を削減するために、角運動量還元を適用する。
• ハミルトニアンの正則化と衝突に起因する特異性の除去のために、デプリュの作用角変数を用いる。
• デラウンイ・ポアンカレおよびデプリュ写像を用いた部分的および全還元により、位相空間構造を単純化する。
• KAM反復の収束を制御するために、定量的陰関数定理およびコーシー型推定を適用する。
• ラプラス係数およびバーフォームを用いて、作用角変数における摂動ハミルトニアンの構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的N体惑星問題において、正測度の準周期的解（コルモゴロフの集合）を構成することは可能か？
• RQ2 還元された位相空間におけるKAM理論を適用するために必要な正確な非退化性および非共鳴条件は何か？
• RQ3 近接接近および衝突に起因する特異性は、N体問題でどのように正則化可能か？
• RQ4 部分還元および全還元系における不変KAMトーラスの次元は何か？
• RQ5 強い結合性および高次の退化性を有する適切に退化した系に、KAM収束理論を拡張することは可能か？

主な発見

• 本稿は、N ≥ 3 に対して、空間的N体惑星問題における正測度の準周期的解（コルモゴロフの集合）の存在を証明する。
• 空間的場合の還元済みハミルトニアンに対して、非退化性条件（「ねじれ」条件を含む）が厳密に検証される。
• コルモゴロフの集合は、部分還元系では次元(3N−1)、全還元系では次元(3N−2)を有する。
• コルモゴロフの集合の測度は、小さなパラメータµに依存する正の定数から下界をもつ。
• 定量的陰関数定理および解析関数に対するコーシー型推定を用いて、KAM反復の収束が確立される。
• デプリュ変数および正則化の使用により特異性が効果的に除去され、KAM理論が完全な惑星問題への適用が可能になる。