[論文レビュー] On the Kontsevich and the Campbell-Baker-Hausdorff deformation quantizations of a linear Poisson structure

Boris Shoikhet|ArXiv.org|Mar 6, 1999

Advanced Topics in Algebra被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、線形係数をもつ多ベクトル場から多微分作用素へへの特殊化された $L_∞$-準同型 $・\text{lin}$ を構成し、Kontsevichの公式における有向サイクルを含まない部分——Campbell-Baker-Hausdorff (CBH) 量子化に対応する——が、線形ポアソン構造に対して結合的積を定義することを直接的に証明する。この結果は、CBH定理に依存せず、形式幾何の手法を用いて、任意の角度写像に対して制限されたKontsevichの公式の結合的性を確認するものである。

ABSTRACT

For the Kirillov-Poisson structure on the vector space $\g^*$, where $\g$ is a finite-dimensional Lie algebra, it is known at least two canonical deformations quantization of this structure: they are the M. Kontsevich universal formula [K], and the formula, arising from the classical Campbell-Baker-Hausdorff formula [Ka]. It was proved in [Ka] that the last formula is exactly the part of Kontsevich's formula consisting of all the admissible graphs without (oriented) cycles between the vertices of the first type. It follows from the CBH-theorem that this part of Kontsevich's formula defines an associative product (in the case of a linear Poisson structure). The aim of these notes is to prove the last result directly, using the methods analogous to [K] instead of the CBH-formula. We construct an $L_\infty$-morphism $\U_\lin\colon[T^ dot_\poly]_\lin o D^ dot_\poly$ from the \dg Lie algebra of polyvector fields with linear coefficients to the \dg Lie algebra of polydifferential operators, which is not equal to the restriction of the Formality $L_\infty$-morphism $\U\colon T^ dot_\poly o D^ dot_\poly$ [K] to the subalgebra $[T^ dot_\poly]_\lin$. For a bivector field $α$ with linear coefficients such that $[α,α]=0$ the corresponding solution $\U_\lin(α)$ of the Maurer-Cartan equation in $D^ dot_\poly$ defines exactly the CBH-quantization,in the case of the harmonic angle map [K], Sect.2.We prove the associativity of the restricted Kontsevich formula (in the linear case) also for any angle map [K], Sect.6.2.

研究の動機と目的

• 線形ポアソン構造に対するCampbell-Baker-Hausdorff (CBH) 量子化公式の結合的性を、CBH定理に依存せずに直接証明すること。
• Kontsevichの普遍形式的同型準同型の制限とは異なる、線形係数をもつ多ベクトル場の微分ゲージ代数から多微分作用素の微分ゲージ代数への $L_\infty$-準同型 $\U_\text{lin}$ を構成すること。
• 線形2次ベクトル場 $\alpha$ で $[\alpha,\alpha]=0$ を満たすものについて、Maurer-Cartan方程式の解 $\U_\text{lin}(\alpha)$ が、まさにCBH量子化に対応することを示すこと。
• Kontsevichの元々の研究で扱われた調和的角写像に限らず、任意の角写像に対して結合的性の証明を拡張すること。

提案手法

• 線形多ベクトル場および多微分作用素に特化した新しい $L_\infty$-準同型 $\U_\text{lin}$ を構築する。
• Kontsevichの公式における許容的グラフの構造に着目し、第1種の頂点間に有向サイクルを含まないものに限定する。
• 多微分作用素の微分ゲージ代数におけるMaurer-Cartan方程式を用いて、量子化積を定義する。
• 得られた積が、キリロフ・ポアソン構造をもつリー代数の双対 $\g^*$ に対してCBH公式と一致することを示す。
• Kontsevichの形式的同型定理の手法に類似した技術を用い、古典的CBH展開の直接的使用を避ける。
• 任意の角写像に対して構成を検証し、調和的角写像の場合に限らない一般化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形ポアソン構造に対するCBH量子化公式の結合的性は、Campbell-Baker-Hausdorff定理を用いずに直接証明可能か？
• RQ2 Kontsevichの形式的同型準同型を線形構造に制限し、CBH公式を再現する $L_\infty$-準同型 $\U_\text{lin}$ が存在するか？
• RQ3 有向サイクルを含まないグラフのみを含むKontsevichの制限公式は、線形ポアソン構造に対して結合的積を定義するか？
• RQ4 制限されたKontsevichの公式の結合的性は、調和的角写像に限らず、任意の角写像に対しても成立するか？
• RQ5 $L_\infty$-準同型 $\U_\text{lin}$ は、普遍形式的同型準同型を線形多ベクトル場に制限したものとどのように異なるか？

主な発見

• $L_\infty$-準同型 $\U_\text{lin}$ は明示的に構成されており、Kontsevichの普遍形式的同型準同型を線形部分代数に制限したものとは一致しない。
• 線形2次ベクトル場 $\alpha$ で $[\alpha,\alpha]=0$ を満たすものについて、解 $\U_\text{lin}(\alpha)$ はCBH量子化公式を正確に与える。
• 有向サイクルを含まない許容的グラフのみからなる制限されたKontsevichの公式は、$\g^*$ 上で結合的積を定義する。
• この積の結合的性は、調和的角写像に限らず、任意の角写像に対して成り立つ。これは $L_\infty$-準同型の構成によって証明された。
• 証明は直接的かつ形式的であり、Kontsevichの手法に類似した方法を用い、古典的CBH展開に依存しない。