[論文レビュー] On the Korn interpolation and second inequalities for shells with non-constant thickness

Davit Harutyunyan|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、境界条件や正規化条件を要しない非一様厚さを有する薄板型領域におけるベクトル場に対して、漸近的に最適なKorn補間不等式および第二不等式を確立する。定数は厚さ $ h \to 0 $ のとき $ h $ のスケーリングを示し、$ \mathbb{R}^3 $ 内の一般な薄板領域に対して、古典的Korn第二不等式の最適定数の完全な漸近的特徴付けを初めて得る。Korn補間不等式により、勾配の推定をベクトル場自体に対するPoincaré型評価に還元できる。

ABSTRACT

We consider shells of non-constant thickness in three dimensional Euclidean space around surfaces which have bounded principal curvatures. We derive Korn's interpolation (or the so called first and a half (The inequality first introduced in [Gra.Har.1])) and second inequalities on that kind of domains for $\Bu\in H^1$ vector fields, imposing no boundary or normalization conditions on $\Bu.$ The constants in the estimates are asymptotically optimal in terms of the domain thickness $h,$ with the leading order constant having the scaling $h$ as $h o 0.$ This is the first work that determines the asymptotics of the optimal constant in the classical Korn second inequality for shells in terms of the domain thickness in almost full generality, the inequality being fulfilled for practically all thin domains $\Omega\in\mathbb R^3$ and all vector fields $\Bu\in H^1(\Omega).$ Moreover, the Korn interpolation inequality is stronger than Korn's second inequality, and it reduces the problem of estimating the gradient $ abla\Bu$ in terms of the symmetrized gradient $e(\Bu)$, in particular any linear geometric rigidity estimates for thin domains, to the easier problem of proving the corresponding Poincare-like estimates on the field $\Bu$ itself.

研究の動機と目的

• 非一様厚さを有する $ \mathbb{R}^3 $ 内の薄板領域に対して、ベクトル場に境界条件や正規化条件を課さずにKornの補間不等式および第二不等式を確立すること。
• 領域の厚さ $ h \to 0 $ の極限において、古典的Korn第二不等式の最適定数の漸近的挙動を $ h $ の関数として特定すること。
• 非一様厚さおよび有界な主曲率を有する領域を含む広範な薄板領域クラスにまでKorn型不等式の適用範囲を拡張すること。
• Korn補間不等式が第二不等式よりも強力な枠組みを提供することを示し、$ \nabla \mathbf{u} $ の推定を $ \mathbf{u} $ 自身に対するPoincaré型推定に還元できることを示すこと。
• このような領域に対して、一貫性をもって、先駆的かつ完全な一般性において、先験的定数の主項スケーリングが $ h $ に比例することを達成すること。

提案手法

• 薄板の幾何的構造を活用し、対称勾配 $ e(\mathbf{u}) $ と全勾配 $ \nabla \mathbf{u} $ の関係を分析することで、Korn補間不等式を導出する。
• 幾何解析および関数不等式の技法を用い、正規化や境界制約を必要とせずに $ \|\nabla \mathbf{u}\|_{L^2} $ を $ \|e(\mathbf{u})\|_{L^2} $ で評価する。
• 中間面のリーマン幾何学的構造を用い、主曲率が有界であると仮定することで、曲率に起因する歪みを制御する。
• $ h \to 0 $ の漸近的解析を用い、Korn第二不等式における最適定数の主項スケーリングを特定し、それが $ h $ に比例することを示す。
• Korn補間不等式をブリッジとして用い、全勾配の推定問題を $ \mathbf{u} $ に対するPoincaré型不等式の証明問題に還元する。
• テスト場の構成と既存の下界との比較により、$ h $ スケーリングの最適性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様厚さを有する薄板領域に対して、古典的Korn第二不等式の最適定数の漸近的挙動は何か？
• RQ2 境界条件や正規化条件を課さずに、薄板領域内のベクトル場に対してKorn補間不等式を確立できるか？
• RQ3 Korn第二不等式における最適定数のスケーリングは、$ h \to 0 $ の極限において厚さ $ h $ にどのように依存するか？
• RQ4 Korn補間不等式は、薄板領域における幾何的剛性の解析をどの程度簡素化できるか？
• RQ5 有界な主曲率を有する一般の薄板領域において、Korn第二不等式の先験的定数の $ h $ スケーリングは、漸近的に最適か？

主な発見

• 境界条件や正規化条件を要しない非一様厚さを有する薄板領域における $ \mathbf{u} \in H^1 $ ベクトル場に対して、Korn補間不等式が確立された。
• Korn第二不等式における最適定数は、$ h \to 0 $ のとき漸近的に $ h $ のスケーリングを示し、このスケーリングが漸近的に最適であることが示された。
• Korn補間不等式により、$ e(\mathbf{u}) $ による $ \nabla \mathbf{u} $ の推定問題が、$ \mathbf{u} $ 自身に対するPoincaré型推定問題に還元され、幾何的剛性の解析が簡素化された。
• 結果は、非一様厚さおよび有界な主曲率を有する領域を含む広範な薄板領域クラスに適用可能である。
• 本稿は、このような領域に対して、古典的Korn第二不等式の最適定数の漸近的挙動を、ほぼ完全な一般性において初めて特定した。
• Korn第二不等式における先験的定数は $ h $ スケーリングを達成しており、$ h \to 0 $ の極限において、これより良いスケーリングが不可能であることが確認された。