[論文レビュー] On the Kronecker and Caratheodory-Fejer theorems in several variables

Фредрик Андерссон, Marcus Carlsson|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 46被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般の ℝᵈ 内の領域上でヘンケルおよびトーペリッツ作用素に対して、クラメール、カラテオドリ-フェージェル、およびフィッシャーの定理の多次元版を確立する。有限ランクで正定値作用素である場合、符号化関数は正の係数をもつ指数関数の和に正確に一致する——具体的には、トーペリッツ作用素では f(x) = Σ cₖe^{iξₖ·x}、ヘンケル作用素では f(x) = Σ cₖe^{ξₖ·x}（cₖ > 0 かつ ξₖ ∈ ℝᵈ）—であり、連続的設定において明快な必要十分条件を提供する。この特徴付けは、十分なサンプリングによって構造的行列に自然に拡張可能である。

ABSTRACT

Multivariate versions of the Kronecker theorem in the continuous multivariate setting has recently been published. These theorems characterize the symbols that give rise to finite rank multidimensional Hankel and Toeplitz type operators defined on general domains. In this paper we study how the additional assumption of positive semidefinite affects the characterization of the corresponding symbols, which we refer to as Carathéodory-Fejer type theorems. We show that these theorems become particularly transparent in the continuous setting, by providing elegant if and only if statements connecting the rank with sums of exponential functions. We also discuss how these objects can be discretized, giving rise to an interesting class of structured matrices that inherit these desirable properties from their continuous analogs. We describe how the continuous Kronecker theorem also applies to these structured matrices, given sufficient sampling. We also provide a new proof for the Carathéodory-Fejer theorem for block Toeplitz matrices, based on tools from tensor algebra.

研究の動機と目的

• 一変数における古典的クラメールおよびカラテオドリ-フェージェルの定理を、一般の ℝᵈ 内の領域上での多次元連続的設定に拡張すること。
• 有限ランクで正定値のヘンケルおよびトーペリッツ型作用素の符号化関数を指数関数の和として特徴付けること。
• 連続的枠組みが、特に正定値性の下で、離散的状況よりも洗練され、より明快な特徴付けを提供することを示すこと。
• 十分なサンプリングによって、離散的構造的行列が連続的対応物の性質をどのように継承するかを示すこと。
• テンソル代数に基づく新証明を用いて、ブロックトーペリッツ行列に対する離散的カラテオドリ-フェージェルの定理を再証明すること。

提案手法

• 符号化関数 f を用いた積分核を用いて、一般の開かつ有界で連結な領域 Ω ⊂ ℝᵈ 上でヘンケルおよびトーペリッツ型作用素 Γ_f および Θ_f を定義する。
• スペクトル理論および関数解析的道具を用いて、有限ランク作用素を指数多項式 f(x) = Σ p_j(x)e^{ζ_j·x}（p_j は多項式、ζ_j ∈ ℂᵈ）によって特徴付ける。
• 作用素に正定値性を課し、二次形式 ⟨Γ_f(g),g⟩ および ⟨Θ_f(g),g⟩ の分析を通じて、f に関する必要十分条件を導出する。
• 正定値で有限ランクな Γ_f に対して、符号化関数 f は f(x) = Σ cₖe^{ξₖ·x}（cₖ > 0 かつ ξₖ ∈ ℝᵈ）の形に限られることを証明する。
• テンソル積構造および実解析的接続を活用して、1次元の結果を高次元に拡張し、離散的カラテオドリ-フェージェルの定理の新証明を可能にする。
• 十分にサンプリングされた連続的作用素が構造的行列を生成し、指数構造を保つことから、連続的および離散的設定の間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ランクで正定値のヘンケルおよびトーペリッツ型作用素の符号化関数 f は、多次元連続的設定においてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 古典的クラメールおよびカラテオドリ-フェージェルの定理は、ℝᵈ 内の積の形でない領域上で定義された作用素へどのように一般化されるか？
• RQ3 正定値ヘンケルまたはトーペリッツ作用素のランクと、その符号化関数に現れる指数関数の数との間の正確な関係は何か？
• RQ4 連続的多次元定理は、有限ランクおよび正定値性の性質を保つように離散化可能か？
• RQ5 テンソル代数の枠組みは、ブロックトーペリッツ行列に対する離散的カラテオドリ-フェージェルの定理の新証明をどのように可能にするか？

主な発見

• 領域 Ω ⊂ ℝᵈ 上の有限ランクで正定値のトーペリッツ作用素 Θ_f が存在するための必要十分条件は、符号化関数 f が f(x) = Σ_{k=1}^K c_k e^{iξ_k·x}（c_k > 0 かつ ξ_k ∈ ℝᵈ）の形に書けることである。
• 領域 Ω ⊂ ℝᵈ 上の有限ランクで正定値のヘンケル作用素 Γ_f が存在するための必要十分条件は、符号化関数 f が f(x) = Σ_{k=1}^K c_k e^{ξ_k·x}（c_k > 0 かつ ξ_k ∈ ℝᵈ）の形に書けることである。
• 連続的枠組みは、符号化関数の構造を明快に、かつ必要十分条件として特徴付けることができ、離散的状況よりも洗練されている。
• これらの作用素の離散的対応物は、十分なサンプリングのもとで、連続的状況から引き継がれた指数表現および有限ランク性を保つ構造的行列として構成可能である。
• 本稿は、テンソル代数の道具を用いて、ブロックトーペリッツ行列に対する離散的カラテオドリ-フェージェルの定理の新証明を提供する。
• 非有界領域では、正定値トーペリッツ作用素 Θ_f が有界かつ有限ランクであるのは、f ≡ 0 の場合に限られ、これは領域 Ω が非有界であり、かつ指数の実部が方向錐 Δ_Ω の内部にあるときに限り成立する。