[論文レビュー] On the Krull dimension of rings of semialgebraic functions

José F. Fernando, J. M. Gamboa|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、実閉体上における半代数的集合 M 上の連続半代数的関数の環およびその有界部分環のクルール次元が、M 自身の次元に等しいことを確立する。著者らは、素イデアルの「半代数的深さ」という新しい概念を導入し、実スペクトルを避けることで、初等的な幾何的証明を提示する。この証明により、点 p ∈ M における極大イデアルの高さが、p における M の局所次元に等しくなること、および z-イデアルに対しては、半代数的深さが実閉体 R 上の商体の超越次元に一致することを示す。

ABSTRACT

Let $R$ be a real closed field and let ${\mathcal S}(M)$ be the ring of (continuous) semialgebraic functions on a semialgebraic set $M\subset R^n$ and let ${\mathcal S}^*(M)$ be its subring of bounded semialgebraic functions. In this work we introduce the concept of \em semialgebraic depth \em of a prime ideal $\gtp$ of ${\mathcal S}(M)$ in order to provide an elementary proof of the finiteness of the Krull dimension of the rings ${\mathcal S}(M)$ and ${\mathcal S}^*(M)$, inspired in the classical way of doing to compute the dimension of a ring of polynomials on a complex algebraic set and without involving the sophisticated machinery of real spectra. We also show that $\dim{\mathcal S}(M)=\dim{\mathcal S}^*(M)=\dim M$ and we prove that in both cases the height of a maximal ideal corresponding to a point $p\in M$ coincides with the local dimension of $M$ at $p$. In case $\gtp$ is a prime \em $z$-ideal \em of ${\mathcal S}(M)$, its semialgebraic depth coincides with the transcendence degree over $R$ of the real closed field $\qf({\mathcal S}(M)/\gtp)$.

研究の動機と目的

• 実閉体上での半代数的集合上の連続半代数的関数の環の有限クルール次元を確立すること。
• このような環のクルール次元が、元の半代数的集合 M の次元に等しいことの証明。
• 高度な実スペクトルの道具に依存せずに、次元の有限性を初等的に証明すること。
• 点における極大イデアルの高さを、M のその点における局所次元の観点から特徴付けること。
• z-イデアルの半代数的深さと、R 上の商体の超越次元との関係を明らかにすること。

提案手法

• ゼロ集合の次元性が欠落している状況において、代数的次元の代わりに半代数的関数環内の素イデアルの「半代数的深さ」の概念を導入する。
• M への立方体 [0,1]^d の半代数的埋め込みを用いて、関数環内の素イデアルの鎖を構成する。
• 埋め込まれた部分多様体 T に対して、S(M) から S(T) への制限準同型を用い、T から M へとイデアルの鎖を持ち上げる。
• M のコンパクト化を用いてイデアルの鎖を拡張し、より大きな半代数的集合内のイデアルと関係づける。
• f1f2 ≡ 0 かつ f2(p) ≠ 0 であるとき f1|X ∈ P0' であるという事実を用い、ゼロ集合によるイデアルの深さの上限を評価する。
• [DK1] で確立されたように、M のコンパクト化 X に対して、S(X) から S(T) への制限写像が全射であることに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実閉体上での半代数的集合 M 上の連続半代数的関数の環のクルール次元は何か？
• RQ2 S(M) や S*(M) のクルール次元は、M の位相的次元とどのように関係するか？
• RQ3 実スペクトルや高度なモデル理論的道具を用いずに、クルール次元を計算できるか？
• RQ4 点 p ∈ M における極大イデアルの高さと、M の点 p における局所次元の関係は何か？
• RQ5 z-イデアルの半代数的深さは、R 上の商体の超越次元とどのように関係するか？

主な発見

• S(M) および S*(M) のクルール次元は有限であり、半代数的集合 M の次元に等しい。
• 点 p ∈ M に対応する S*(M) 内の極大イデアル mp の高さは、M の点 p における局所次元に等しい。
• S(M) 内の z-イデアル p に対して、p の半代数的深さは、商体 qf(S(M)/p) の R 上の超越次元に等しい。
• 証明は実スペクトルを用いず、半代数的埋め込みとコンパクト化による幾何的構成に依存する。
• [0,1]^d から M への制限による素イデアルの鎖の構成は、クルール次元の下界を与えるが、深さの議論により上界と一致する。
• 半代数的深さ関数は、S(M) および S*(M) 内の素イデアルの鎖の長さを制御する幾何的不変量を提供する。