[論文レビュー] On the lack of density of Lipschitz mappings in Sobolev spaces with Heisenberg target

Noel DeJarnette, Piotr Hajłasz+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$W^{1,p}(M, \mathbb{H}^n)$ におけるリプシッツ写像の密度について、$\dim M \leq n$ であるときかつそのときに限り、成立することを示している。$\dim M \geq n+1$ かつ $n \leq p < n+1$ の場合、非密度が成立することも証明している。主なメカニズムは、ヘイゼンベルク群 $\mathbb{H}^n$ への水平な双リプシッツ埋め込み $\mathbb{S}^n$ の構成であり、これはリプシッツホモトピー群によって捉えられる非自明な位相的性質により、リプシッツ近似が妨げられることを示している。

ABSTRACT

We study the question: when are Lipschitz mappings dense in the Sobolev space $W^{1,p}(M,\mathbf{H}^n)$? Here $M$ denotes a compact Riemannian manifold with or without boundary, while $\mathbf{H}^n$ denotes the $n$th Heisenberg group equipped with a sub-Riemannian metric. We show that Lipschitz maps are dense in $W^{1,p}(M,\mathbf{H}^n)$ for all $1\le p

研究の動機と目的

• ヒーゼンベルク群を被覆とするソボレフ空間におけるリプシッツ写像の稠密性に関する条件を特定すること。
• 水平埋め込みの幾何学的性質を用いて、$W^{1,p}(M, \mathbb{H}^n)$ におけるリプシッツ近似の位相的障害を調査すること。
• 特に $\mathbb{H}^n$ に対して、リプシッツホモトピー群を導入し、その性質を研究すること。
• 複素幾何およびシンプレクティック幾何を用いて、球面 $\mathbb{S}^n$ から $\mathbb{H}^n$ への水平な双リプシッツ埋め込みを明示的に構成すること。

提案手法

• 複素双曲幾何およびシンプレクティック構造を用いて、$\mathbb{S}^n$ から $\mathbb{H}^n$ への滑らかな水平埋め込みを構成する。
• このような埋め込みの存在を用いて、特定のソボレフ写像がリプシッツ写像によって近似できないことを示す。
• 曲線に沿った次数論および微分積分学の基本定理を用いて、近似列の像を分析する。
• フィビニの定理を用いて、ソボレフノルムを円に制限し、誤差項の $L^\infty$ ノルムを制御する。
• キルツブルーハン型拡張定理（ラング–シュレーデル）を用いて、$\mathbb{H}^1$ の $y$ 軸を避ける写像が、円板へリプシッツに拡張可能であることを示す。
• リーマン多様体の成分の曲率および完備性を分析し、拡張定理の正当性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン多様体 $M$ に対して、$W^{1,p}(M, \mathbb{H}^n)$ におけるリプシッツ写像が稠密である条件は何か？
• RQ2 ヒーゼンベルク群を被覆とするソボレフ空間におけるリプシッツ近似の障害となる、位相的または幾何的要因は何か？
• RQ3 球面 $\mathbb{S}^n$ から $\mathbb{H}^n$ への水平埋め込みは、リプシッツホモトピー群の非自明性とどのように関係しているか？
• RQ4 $\mathbb{H}^1$ への $\mathbb{S}^1$ からのリプシッツ写像で $y$ 軸を避けるものについて、$\mathbb{B}^2$ 上へのリプシッツ拡張が可能か？
• RQ5 ヒーゼンベルク群 $\mathbb{H}^n$ の部分リーマン幾何的構造は、リプシッツ写像の稠密性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• リプシッツ写像は、$\dim M \leq n$ かつ $1 \leq p < \infty$ のとき、$W^{1,p}(M, \mathbb{H}^n)$ において稠密である。
• リプシッツ写像は、$\dim M \geq n+1$ かつ $n \leq p < n+1$ のとき、$W^{1,p}(M, \mathbb{H}^n)$ において稠密でない。
• 非稠密性の結果は、$\mathbb{H}^n$ の $n$ 番目のリプシッツホモトピー群が非自明であることと同値である。
• 複素双曲幾何およびシンプレクティック幾何を用いて、$\mathbb{S}^n$ から $\mathbb{H}^n$ への水平な双リプシッツ埋め込みを明示的に構成した。
• $\mathbb{S}^1$ から $\mathbb{H}^1$ への $y$ 軸を避ける写像は、曲率および完備性の議論により、$\mathbb{B}^2$ 上にリプシッツ拡張可能である。
• 証明は背理法に依拠している：もしソボレフ写像がリプシッツ写像によって近似可能であれば、その像は正の測度で $y$ 軸と交わることになり、重要な幾何的制約に反する。