[論文レビュー] On the Lamperti stable processes

M. E. Caballero, Juan Carlos Pardo+1 more|ArXiv.org|Feb 6, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、安定、トゥーメンド安定、レイヤード安定過程を一般化する新しいクラスの$\ceil^d$-値Lévy過程、すなわちLamperti安定過程を導入する。Lamperti変換と明示的なLévy測度の特徴付けを活用することで、特性指数、スケール関数、および級数表現の閉形式式が得られ、1次元における最初の通過時や指数関数的機能の正確なシミュレーションと容易な計算が可能になる。

ABSTRACT

We consider a new family of $\R^d$-valued Lévy processes that we call Lamperti stable. One of the advantages of this class is that the law of many related functionals can be computed explicitely (see for instance \cite{cc}, \cite{ckp}, \cite{kp} and \cite{pp}). This family of processes shares many properties with the tempered stable and the layered stable processes, defined in Rosiński \cite{ro} and Houdré and Kawai \cite{hok} respectively, for instance their short and long time behaviour. Additionally, in the real valued case we find a series representation which is used for sample paths simulation. In this work we find general properties of this class and we also provide many examples, some of which appear in recent literature.

研究の動機と目的

• 新しいクラスの$\rceil^d$-値Lévy過程、すなわちLamperti安定過程を定義・特徴づけること。この過程は、安定、トゥーメンド安定、レイヤード安定過程を一般化する。
• 1次元におけるこれらの過程の特性指数、Lévy測度、およびスケール関数の明示的公式を確立すること。
• Lamperti安定過程の正確なサンプルパスシミュレーションを可能にする級数表現を提供すること。
• 正のジャンプを持たないLévy過程の既知の機能的結果（最初の通過時、オーバーシュート、指数関数的機能など）を統合・拡張すること。
• 金融数学および確率過程における既存モデルとの関連を通じて、フレームワークの適用可能性を示すこと。

提案手法

• 本稿では、正の自己相似マルコフ過程（pssMp）とLévy過程を結びつけるLamperti変換（$LT_1$）を用い、変換された過程のLévy特性を導出する。
• Lamperti安定過程のLévy測度は、三重組$(\rho, \beta, \theta)$を用いて特徴づけられ、密度に指数関数的およびべき乗則的項を含む明示的形で与えられる。
• Lévy-Khintchine表現を用いて、線形のドリフト項$b$とべき乗則的減衰を示すLévy測度を含む閉形式の特性指数が導出される。
• Lévy測度の構造に基づいた級数表現が構築され、1次元におけるサンプルパスの正確なシミュレーションが可能になる。
• スケール関数$W^*(x)$は、ガンマ関数および指数項を含む積分表現を用いて明示的に計算される。
• 理論的結果は、Patie [28]、Chaumontら[10]、EberleinとMadan[13]の文献における既知の過程との接続を通じて検証され、一貫性とより広範な適用可能性が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定過程の短時間挙動とブラウン運動の長時間挙動を組み合わせつつ、解析的取り扱いのしやすさを保ちながら、新しいLévy過程の体系的な構築方法は何か？
• RQ2 1次元におけるLamperti安定過程の特性指数およびLévy測度の明示的形は何か？
• RQ3 Lamperti安定過程に対して、正確なサンプルパスシミュレーションを可能にする級数表現を導出できるか？
• RQ4 Lamperti安定過程は、構造的および解析的性質の観点から、トゥーメンド安定およびレイヤード安定過程といった既存クラスとどのように関係しているか？
• RQ5 このフレームワークは、最初の通過時、オーバーシュート、指数関数的機能といった機能の計算にどのような意味を持つのか？

主な発見

• Lamperti安定過程の特性指数は、Lévy-Khintchineの公式により明示的に与えられ、Lévy測度が$\Pi(dx) = \left(\frac{c_+ e^{bx}}{(e^x - 1)^{\alpha+1}} \mathbf{1}_{\{x>0\}} + \frac{c_- e^{bx}}{(1 - e^x)^{\alpha+1}} \mathbf{1}_{\{x<0\}} \right) dx$の形を取る。ここで$b$はLévy測度から導かれる線形ドリフト項であり、定数$K$とも関係する。
• 過程$Y^{*,P}$のスケール関数は$W^*(x) = \frac{1}{c_+ \Gamma^2(1 - \alpha)} \int_0^x e^{-(\alpha - \beta)y} (e^y - 1)^{\alpha - 1} dy$として与えられ、最初の通過問題に対する明示的表現が得られる。
• $X^{PL}$過程は、正のジャンプを持たない2つの独立なLamperti安定過程の和に分解可能であり、それぞれのパラメータは$(\alpha+1, \beta+1, \sigma_1, b_1 - K)$および$(\alpha+1, \beta, \sigma_2, b_2)$として指定される。これにより、さらなる機能的解析が可能になる。
• 本稿では、$\alpha X^L$および$\alpha X^{L,2}$の指数関数的機能が、安定変数およびガンマ変数を含む既知の因数分解により計算可能であることが示され、EberleinとMadan[13]のモデルと関連づけられる。
• オーダー・ウーレンバック過程の逆局所時間のLévy測度は、パラメータ$(1/2, 1, \sqrt{\gamma/\pi})$をもつLamperti安定分布に対応することが示され、非自明な確率過程設定においてフレームワークの妥当性が裏付けられる。
• 本フレームワークは、[6]、[10]、[24]、[28]の既知の結果を正確に回復し、特にスペクトル的に片側のLévy過程におけるウィーナー＝ホプフ因子およびスケール関数の計算において、一般化がなされている。