[論文レビュー] On the Langlands parameter of a simple supercuspidal representation: odd orthogonal groups

Moshe Adrian|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、p進体上の奇数次正規直交群の単純超臨界表現に対して、ランキン・セルバーグ積分と関数等式を用いてねじれガンマ因子を計算する。この結果、このような表現のラングランズパラメータを予測し、深さを保存する予想と、十分に大きな素数 p に対して、そのパラメータが二次拡大からの特徴の誘導であることを証明する。これは、類似する GL(2ℓ) 表現における既知のパラメータと一致する。

ABSTRACT

In this work, we explicitly compute a certain family of twisted gamma factors of a simple supercuspidal representation $π$ of a $p$-adic odd orthogonal group. These computations, together with analogous computations for general linear groups carried out in previous work with Liu, allow us to give a prediction for the Langlands parameter of $π$. If we assume the "depth-preserving conjecture", we prove that our prediction is correct if $p$ is sufficiently large.

研究の動機と目的

• SO_{2ℓ+1}(F) の単純超臨界表現 π のラングランズパラメータをガンマ因子を用いて特定すること。
• GL_n からのガンマ因子計算手法を、特に奇数次正規直交群を含む古典的群へ拡張すること。
• 深さを保存する予想のもとで、予測されたラングランズパラメータが、GL_{2ℓ} における類似表現の既知のパラメータと一致することを検証すること。
• π のガンマ因子と、中心的特徴が自明な GL_{2ℓ} 上の単純超臨界表現のガンマ因子との間の関係を確立すること。

提案手法

• Whittaker関数 W と誘導表現の正則切断 f_s に対して、ランキン・セルバーグ積分 Φ(W, f_s) 及びその正規化された双対 Φ*(W, f_s) を計算する。
• GL_1 のねじれ的分岐特徴 τ に対して、ガンマ因子 γ(s, π × τ, ψ) を含む関数等式を適用し、Φ(W, f_s) と Φ*(W, f_s) を関連付ける。
• Whittaker関数およびインターウェーブリング作用素の明示的計算を用いて積分を評価し、特に二重コセットにおけるサポートと分解に注目する。
• すべてのねじれ的分岐特徴 τ に対して、π_χ^ζ の計算済みガンマ因子 γ(s, π_χ^ζ × τ, ψ) が、中心的特徴が自明な GL_{2ℓ} 上の既知の単純超臨界表現 σ_χ^ζ のものと一致することを確認する。
• 深さを保存する予想を用いて、π_χ^ζ のラングランズパラメータが、深さとパラメータの既約性に基づき、Ind_{W_E}^{W_F} ξ に一意に特定されることを導く。
• 既知の結果 [AL14] により、σ_χ^ζ のラングランズパラメータが Ind_{W_E}^{W_F} ξ であることが分かっているため、π_χ^ζに対しても同様の結論が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO_{2ℓ+1}(F) の単純超臨界表現のラングランズパラメータは何か？
• RQ2 π が SO_{2ℓ+1} 上にあり、τ が GL_1(F) のねじれ的分岐特徴であるとき、γ(s, π × τ, ψ) のねじれガンマ因子は、GL_{2ℓ} 上の表現とどのように比較できるか？
• RQ3 深さを保存する予想は、π のラングランズパラメータが二次拡大からの特徴の誘導であることを示唆するか？
• RQ4 ランキン・セルバーグ積分の関数等式を用いて、π から GL_{2ℓ} への関手的リフトの等価成分を特定できるか？
• RQ5 π に対する予測されたラングランズパラメータは、GL_{2ℓ} 上の対応する表現の既知のパラメータと整合的か？

主な発見

• Whittaker関数のサポート解析を用いたランキン・セルバーグ積分を用いて、SO_{2ℓ+1} 上の π_χ^ζ 及び GL_1(F) のねじれ的分岐特徴 τ に対して、ねじれガンマ因子 γ(s, π_χ^ζ × τ, ψ) を明示的に計算した。
• π_χ^ζ の計算済みガンマ因子は、中心的特徴が自明な GL_{2ℓ} 上の単純超臨界表現 σ_χ^ζ のものと完全に一致した。
• 関数等式により、Φ*(W, f_s) = q^{1/2 - s} τ(−ϖ) · vol(1 + 𝔪)^{ℓ−1} χ_ζ(g_χ) · vol(𝔪)^{ℓ−1} × 定数 が得られ、s および τ への明示的依存性が示された。
• 深さを保存する予想を仮定し、p が十分に大きい場合、π_χ^ζ のラングランズパラメータは、Ind_{W_E}^{W_F} ξ に一意に特定される。
• パラメータ Ind_{W_E}^{W_F} ξ が既約的であり、深さ 1/(2ℓ) を有することを示し、これは π_χ^ζ の深さと一致する。
• この結果により、π_χ^ζ から GL_{2ℓ}(F) への関手的リフトが、中心的特徴が自明な単純超臨界表現であることが確認され、それは σ_χ^ζ として特定された。