[論文レビュー] On the Laplace-Beltrami operator on compact complex spaces

Francesco Bei|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素次元 $v > 1$ のコンパクトで非可約なヘルミート複素空間上におけるラプラシアン＝ベルトラミおよびホッジ＝コイダラ・ラプラシアンの離散スペクトルおよびトレースクラスの熱核性質を確立する。ソボレフ埋め込みとスペクトル推定を用いて、固有値の成長評価 $ olimits \lambda_k k^{-1/v} \to \infty$ および熱トレースの衰減 $ olimits \operatorname{Tr}(e^{-t\Delta^\mathcal{F}}) \leq C t^{-v}$ を示し、$L^2$-コホロロジーおよび複素曲面上の $ olimits \overline{\partial}$-作用素への結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

Let $(X,h)$ be a compact and irreducible Hermitian complex space of complex dimension $v>1$. In this paper we show that the Friedrichs extension of both the Laplace-Beltrami operator and the Hodge-Kodaira Laplacian acting on functions has discrete spectrum. Moreover we provide some estimates for the growth of the corresponding eigenvalues and we use these estimates to deduce that the associated heat operators are trace-class. Finally we give various applications to the Hodge-Dolbeault operator and to the Hodge-Kodaira Laplacian in the setting of Hermitian complex spaces of complex dimension $2$.

研究の動機と目的

• コンパクトで非可約なヘルミート複素空間（複素次元 $v > 1$）上におけるラプラシアン＝ベルトラミ作用素の自己共役フレドリクス拡張が離散スペクトルを持つことを確立すること。
• このような空間上におけるラプラシアン＝ベルトラミおよびホッジ＝コイダラ・ラプラシアンの固有値成長に対する漸近的推定を得ること。
• 関連する熱作用素がトレースクラスであること、および体積と次元の観点から明示的な衰減推定が得られることを証明すること。
• スペクトル結果を、特異点をもつ複素曲面上の $\nolimits \overline{\partial}$-ラプラシアンおよび $L^2$-コホロロジーに拡張すること。

提案手法

• ソボレフ埋め込み定理の証明：$v > 1$ に対して $W^{1,2}(\operatorname{reg}(X),h) \hookrightarrow L^{2v/(v-1)}(\operatorname{reg}(X),h)$。
• フレドリクス拡張を用いて、$L^2(\operatorname{reg}(X),h)$ 上におけるラプラシアン＝ベルトラミ作用素の自己共役実現を構成すること。
• ソボレフ理論およびスペクトル理論を用いて、固有値成長推定 $\liminf \lambda_k k^{-1/v} > 0$ を確立すること。
• 熱核トレース推定 $\operatorname{Tr}(e^{-t\Delta^\mathcal{F}}) \leq C \cdot \operatorname{vol}_h(\operatorname{reg}(X)) \cdot t^{-v}$ を $0 < t \leq 1$ に対して適用すること。
• 双対性および $\overline{\partial}$-複体理論を用いて、$(0,q)$-形式上における $\overline{\partial}$-ラプラシアンへの結果の拡張を行うこと。
• 複素次元 2 の場合に、$L^2\Omega^{0,q}(\operatorname{reg}(X),h)$ 上の熱作用素に対するトレースクラス推定を導出し、衰減が $t^{-2}$ となることを見ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素次元 $v > 1$ のコンパクトで非可約なヘルミート複素空間上におけるラプラシアン＝ベルトラミ作用素は、離散スペクトルを持つ自己共役拡張をもつか？
• RQ2 このような空間上におけるラプラシアン＝ベルトラミおよびホッジ＝コイダラ・ラプラシアンの固有値の漸近的成長率はいかほどか？
• RQ3 関連する熱作用素はトレースクラスか？ また、$t$ および体積の観点からそのトレースは一様に有界にできるか？
• RQ4 $(0,q)$-形式上における $\overline{\partial}$-ラプラシアンのスペクトル的性質は、関数上におけるそれらとどのように関係するか？
• RQ5 $L^2$-コホロロジーおよび熱核トレースを用いて、マクーキーン＝シンガーの公式を特異な複素曲面へ拡張できるか？

主な発見

• コンパクトで非可約なヘルミート複素空間（複素次元 $v > 1$）上における $\operatorname{reg}(X)$ 上のラプラシアン＝ベルトラミ作用素のフレドリクス拡張は、離散スペクトルを持つ。
• ラプラシアン＝ベルトラミ作用素の固有値 $\lambda_k$ は、$k \to \infty$ のとき $\liminf \lambda_k k^{-1/v} > 0$ を満たす。
• 熱作用素 $e^{-t\Delta^\mathcal{F}}$ はトレースクラスであり、$0 < t \leq 1$ に対して $\operatorname{Tr}(e^{-t\Delta^\mathcal{F}}) \leq C \cdot \operatorname{vol}_h(\operatorname{reg}(X)) \cdot t^{-v}$ を満たす。
• 関数上におけるホッジ＝コイダラ・ラプラシアンに対しては、フレドリクス拡張が離散スペクトルを持ち、同じ固有値成長およびトレース推定を満たす。
• 複素曲面上の $(0,q)$-形式（$q = 0,1,2$）上における $\overline{\partial}$-ラプラシアンは離散スペクトルを持ち、トレースクラスの熱核を持ち、$t \in (0,1]$ に対して $\operatorname{Tr}(e^{-t\Delta_{\overline{\partial},0,q}^\mathcal{F}}) \leq C_q t^{-2}$ を満たす。
• マクーキーン＝シンガーの公式が成立する：$\chi(M,\mathcal{O}_M) = \sum_{q=0}^2 (-1)^q \operatorname{Tr}(e^{-t\Delta_{\overline{\partial},0,q,\operatorname{rel}}})$ であり、これは解体上のオイラー特性と熱トレースを結びつける。