[論文レビュー] On the large values of the Riemann zeta-function on the critical line - II

Maxim Aleksandrovich Korolev|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーマン予想の下で、短い区間 [T, T+H] における |ζ(1/2 + it)| の最大値の新たな条件付き下界を確立する。セルバールグの畳み込み公式と、急激に減少する関数のフーリエ変換に関する精密な推定を用いて、H ≥ (ln ln ln T)^{1+ε} のとき、F(T;H) = max_{|t−T|≤H} |ζ(1/2+it)| が log H の任意のべきよりも速く増大することを証明する。H と T に依存する明示的な指数関数的および二重指数的下界が得られる。

ABSTRACT

We prove some new bounds for the maximum of Riemann zeta-function on very short segments of the critical line. All the theorems are based on the Riemann hypothesis.

研究の動機と目的

• 短い区間 [T, T+H] における |ζ(1/2 + it)| の最大値の改善された下界を確立すること。特に H ≥ (ln ln ln T)^{1+ε} の場合に焦点を当てる。
• カラツーバが提起した条件付き問題、すなわち F(T;H) ≥ 1 が ln ln T よりも著しく小さい H に対して成り立つかどうかを解明すること。
• H が T に対して対数的未満であっても、H とともに増大する明示的かつ非自明な下界を提供することで、既存の結果を拡張すること。
• 急激に減少する関数のフーリエ変換の減衰速度に関する新規の推定を構築・適用し、ゼータ関数の極値の分析を精緻化すること。

提案手法

• ゼータ関数の対数を素数および零点の和に関連付けるためにセルバールグの畳み込み公式を用い、ゼータ関数の平均値の積分表現を可能にする。
• K.-M. ツァンの重要な補題を適用して、重み関数 W(t) の L2k ノルムを |ζ(1/2+it)| の最大値と関連づける。
• 特定の急激に減少する関数 Φ(u) = exp(−(cosh√u + cos√u)) のフーリエ変換に関する新規な推定を用いる。その減衰速度は、そのフーリエ変換の最小正の根に依存する。
• テスト関数 f(u) の変分法を導入し、与えられた下界を達成するために必要な H を最小化する。
• リーマン予想を用いて、すべての非自明な零点が臨界線上にあることを保証し、証明におけるスペクトル分解と誤差制御に不可欠な役割を果たす。
• 漸近的解析と陰関数の解法を用いて、境界構築における最適パラメータ（例：τ₀）を決定し、H と T の関数として明示的な増加率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H ≫ (ln ln ln T)^{1+ε} の範囲で、[T, T+H] 上における |ζ(1/2 + it)| の最大値が log H の任意のべきよりも速く増大する範囲は何か？
• RQ2 H が (ln ln ln T)^{1+ε} 程度にまで小さくても、F(T;H) の下界を二重指数的または超指数的成長に改善できるか？
• RQ3 リーマン予想の下で、H が (ln ln T)^{1/(2m)} ≤ H ≤ ln ln T の範囲にあるとき、下界の H への最適依存関係は何か？
• RQ4 関数 Φ(u) = exp(−(cosh√u + cos√u)) のスペクトル的性質を用いて、F(T;H) の増加率を定量的に評価できるか？
• RQ5 Φ(u) のフーリエ変換の最小正の根が、F(T;H) の最良の下界にどのように影響するか？

主な発見

• H ≥ (ln ln ln T)^{1+ε} のとき、F(T;H) > exp(0.5 exp((ln ln H)^{0.5ε})) が成立し、二重指数的下界が得られる。
• H ≥ (ln ln ln T)^{2+ε} のとき、F(T;H) > exp(√(ln H) exp(−c (ln ln H)^{1−0.5ε})) が成り立ち、多項式的成長より速いが指数的成長より遅い増加を示す。
• H ∈ [(ln ln T)^{1/(2m)}, ln ln T] の範囲では、F(T;H) > exp(0.05 √(ln H) / (2m ln ln H)^m) が成り立ち、中程度の H に対して既存の下界を改善する。
• 下界の指数は、関数 h(λ) = ∫₀^∞ e^{−(cosh√u + cos√u)} cos(λu) du の最小正の根 ϱ ≈ 2.37689 に支配され、鋭い定数 γ = 1/(2 + (πϱ)^{−1}) ≈ 0.4686 が得られる。
• H ≥ (ln ln ln T)^2 のとき、F(T;H) > exp((ln H)^{γ−ε}) が成り立ち、γ = 0.46862145… である。これは対数スケールでべき乗的増加を示す。
• すべての結果はリーマン予想に依存しており、非自明な零点の位置を制御し、畳み込み公式におけるスペクトル分解の正当性を保証するために用いられる。