[論文レビュー] On the largest real root of independence polynomials of graphs, an ordering on graphs, and starlike trees

Mohammad Reza Oboudi|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、独立多項式の支配関係に基づくグラフの順序付けを、区間 [ξ(G), 0] 上で定義する。ここで ξ(G) は独立多項式の最大の実根である。すべての n 項の木について、星 Sₙ が最大で、経路 Pₙ が最小であることを証明し、次数列の支配関係を用いてスターリンク型の木の順序付けを完全に特徴づける。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph of order $n$. An independent set in a graph is a set of pairwise non-adjacent vertices. The independence polynomial of $G$ is the polynomial $I(G,x)=\sum_{k=0}^{n} s(G,k) x^{k}$, where $s(G,k)$ is the number of independent sets of $G$ of size $k$ and $s(G,0)=1$. Clearly all real roots of $I(G,x)$ are negative. Let $ξ(G)$ be the largest real root of $I(G,x)$. Let $H$ be a simple graph. By $G \succeq H$ we mean that $I(H,x)\geq I(G,x)$ for every $x$ in the interval $[ξ(G),0]$. We note that $G\succeq H$ implies that $ξ(G)\geq ξ(H)$. Also we let $G\succ H$ if and only if $G\succeq H$ and $I(G,x) eq I(H,x)$. We prove that for every tree $T$ of order $n$, $S_n\succeq T\succeq P_n$, where $S_n$ and $P_n$ are the star and the path of order n, respectively. By $T=T(n_1,\ldots,n_k)$ we mean a tree $T$ which has a vertex $v$ of degree $k$ such that $T\setminus v=P_{n_1-1}+\cdots+P_{n_k-1}$, that is $T\setminus v$ is the disjoint union of the paths $P_{n_1-1},\ldots,P_{n_k-1}$. Let $X=(x_1,\ldots,x_k)$ and $Y=(y_1,\ldots,y_k)$, where $x_1\geq \cdots\geq x_k$ and $y_1\geq\cdots\geq y_k$ are real. By $X\succ Y$, we mean $x_1=y_1,\ldots,x_{t-1}=y_{t-1}$ and $x_t>y_t$ for some $t\in\{1,\ldots,k\}$. We let $X\succ_{d}Y$, if $X eq Y$ and for every $j$, $1\leq j\leq k$, $\sum_{i=1}^{j}x_i\geq \sum_{i=1}^{j}y_i$. Among all trees with fixed number of vertices, we show that if $(m_1,\ldots,m_k)\succ_{d}(n_1,\ldots,n_k)$, then $T(n_1,\ldots,n_k)\succ T(m_1,\ldots,m_k)$. We conjecture that $T(n_1,\ldots,n_k)\succ T(m_1,\ldots,m_k)$ if and only if $(m_1,\ldots,m_k)\succ (n_1,\ldots,n_k)$, where $\sum_{i=1}^kn_i=\sum_{i=1}^km_i$.

研究の動機と目的

• 区間 [ξ(G), 0] 上での独立多項式の支配関係に基づく、グラフに新しい半順序を定義し、その分析を行う。
• 与えられた次数のすべての木の中で、極値の木（最大および最小）をこの順序付けにおいて特徴づける。
• 次数列の支配関係と新しいグラフ順序付けの関係、特にスターリンク型の木に対して考察する。
• スターリンク型の木の独立多項式が、その次数列によって一意に決定されるかどうか、および次数列の支配関係が新しいグラフ順序付けを意味するかどうかを同定する。

提案手法

• 独立多項式 I(G,x) の最大の実根を ξ(G) と定義し、常に負であることを示す。
• すべての x ∈ [ξ(G), 0] に対して I(H,x) ≥ I(G,x) が成り立つとき、G ⪰ H と定義し、I(G,x) ≠ I(H,x) であれば G ≻ H と定義する。
• 構造的分解を用いる：スターリンク型の木 T(n₁,…,nₖ) から中心頂点を削除すると、互いに非連結な経路 P_{nᵢ−1} が得られ、それらの部分グラフを分析する。
• 類似した構造の木の独立多項式を比較するために、帰納法および辺・頂点の削除技術を適用する。
• 次数列の支配関係 ≻_d を定義する：(m₁,…,mₖ) ≻_d (n₁,…,nₖ) であるとは、各 j に対して、ソート済み列の累積和が ∑_{i=1}^j mᵢ ≥ ∑_{i=1}^j nᵢ を満たし、ある j で厳密な不等号が成り立つことである。
• 既知のグラフ操作（例えば辺の削除）における独立多項式の挙動に関する結果を用い、多項式の値を比較し、順序付けを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スターリンク型の木に対して、次数列の支配関係（≻_d）は新しいグラフ順序付け ≻ を意味するか？
• RQ2 スターリンク型の木の独立多項式は、その次数列によって一意に決定されるか？
• RQ3 すべての n 項の木の中で、星 Sₙ と経路 Pₙ は、それぞれ ≻ 順序付けにおける最大および最小要素か？
• RQ4 一般の木に対して、グラフ順序付け ≻ は次数列の支配関係を意味するか？
• RQ5 二つの木が同一の独立多項式を持つならば、それらは同じ次数列を持つ必要があるか？

主な発見

• すべての n 項の木 T に対して、Sₙ ≻ T ≻ Pₙ が成り立つ。これは、スターが ≻ 順序付けにおいて最大で、経路が最小であることを意味する。
• もし (m₁,…,mₖ) ≻_d (n₁,…,nₖ) であれば、同じ頂点数を持つスターリンク型の木について、T(n₁,…,nₖ) ≻ T(m₁,…,mₖ) が成り立つ。
• スターリンク型の木の独立多項式は、次数列を一意に決定する：I(T₁,x) = I(T₂,x) ならば、D_{T₁} = D_{T₂} である。
• T(n₁,…,nₖ) ≻ T(m₁,…,mₖ) が成り立つのは、(m₁,…,mₖ) ≻ (n₁,…,nₖ) であるとき、かつそのときに限る、という予想が提示されている。これは支配関係の結果を拡張するものである。
• 最大の実根 ξ(G) は ≻ 順序付けにおいて非減少である：G ≻ H ならば ξ(G) ≥ ξ(H) である。
• スターリンク型の木では、順序付け ≻ は完全に次数列の支配関係 ≻_d によって特徴づけられ、多項式が等しいのは次数列が同一であるときのみである。