[論文レビュー] On the lattice of equational classes of Boolean functions and its closed intervals

Miguel Couceiro|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 11被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、ブール関数の等式的クラスのラティスにおける非可算な閉区間を調査し、区間 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ が非可算であるための必要十分条件を確立する：差集合 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ が前順序 $\preceq_{\bf V}$ における無限の反鎖を含むこと。著者らはブールの場合におけるこのようなすべての区間を分類し、非可換関数が差集合に存在する場合にのみ非可算性が生じることを示している。

ABSTRACT

Let A be a finite set with at least two elements. The composition of two classes I and J of operations on A, is defined as the set of all compositions of functions in I with functions in J. This binary operation gives a monoid structure to the set E_A of all equational classes of operations on A. The set E_A of equational classes of operations on A also constitutes a complete distributive lattice under intersection and union. Clones of operations, i.e. classes containing all projections and idempotent under class composition, also form a lattice which is strictly contained in E_A. In the Boolean case |A|=2, the lattice E_A contains uncountably many equational classes, but only countably many of them are clones. The aim of this paper is to provide a better understanding of this uncountable lattice of equational classes of Boolean functions, by analyzing its "closed" intervals" [C_1,C_2], for clones C_1 and C_2. For |A|=2, we give a complete classification of all such closed intervals in terms of their size, and provide a simple, necessary and sufficient condition characterizing the uncountable closed intervals of E_A.

研究の動機と目的

• 等式的クラスのラティスよりも細かい、ブール関数の非可算ラティスの構造を理解すること。
• ブール関数の等式的クラスのラティス $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ におけるすべての閉区間 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ をその濃度に基づいて分類すること。
• このような区間が非可算であるための必要十分条件を、特にイドムポテン関数 $\mathcal{C}_1$ および $\mathcal{C}_2$ に注目して特定すること。
• 非可換ブール関数と無限の反鎖が、非可算区間と可算区間を区別する上で果たす役割を分析すること。

提案手法

• 有限集合 $A$（$|A| \geq 2$）上の演算の等式的クラスのラティス $\mathbf{E}_A$ を、クラス合成と関数方程式を用いて定義する。
• 変数置換同値性を捉える前順序 $\preceq_{\bf V}$ を導入し、それを用いて差集合 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 内の反鎖を定義する。
• $f_n$, $g_n$, $u_n$, $t_n^u$, $H_n$, $G_m^n$, $T_n$, $s_n$ などの族を用いて、明示的な無限の反鎖を構成し、それぞれが非可換性を示している。
• 区間 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ が非可算であるための必要十分条件が、$\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ が $\preceq_{\bf V}$ に関して無限の反鎖を含むことであることを証明する。
• この特徴づけを用いて、$\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ におけるすべての閉区間をサイズ別に分類し、可算と非可算のケースを区別する。
• すべての非可算閉区間は最小の非可算区間を含み、このような区間は $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ に少なくとも一つの非可換関数を含む必要があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブール関数の等式的クラスのラティス $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ における非可算な閉区間は、どのように特徴づけられるか？
• RQ2 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ に非可換関数が存在することは、区間 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ の非可算性とどのように関係するか？
• RQ3 差集合 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ の構造的性質に基づいて、$\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ の非可算区間を完全に分類できるか？
• RQ4 区間 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ が非可算であるための必要十分条件は、$\preceq_{\bf V}$ に関して無限の反鎖の存在を用いて記述できるか？
• RQ5 双対性と結合的性質は、$\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ における可算区間と非可算区間を区別する上で果たす役割は何か？

主な発見

• ブール関数の等式的クラスのラティス $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ には非可算個の要素が存在するが、そのうちの可算個しかクローンではない。
• 区間 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ が $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ で非可算であるための必要十分条件は、$\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ が前順序 $\preceq_{\bf V}$ に関して無限の反鎖を含むことである。
• 著者らは、$f_n$, $g_n$, $u_n$, $t_n^u$, $H_n$, $G_m^n$, $T_n$, $s_n$ のような明示的な無限の反鎖を構成し、それぞれが非可換性を示している。
• すべての $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ 内の非可算閉区間は最小の非可算区間を含み、そのような区間は $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ に少なくとも一つの非可換関数を含む必要がある。
• $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ に非可換関数が存在することは、区間 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ が非可算であるための必要十分条件である。
• 閉区間の分類は、$\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ in に無限の反鎖が存在するかどうかに完全に依存し、構造的特徴づけが完全に得られる。