[論文レビュー] On the Law of Free Subordinators

Octavio Arizmendi, Takahiro Hasebe+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、自由サブオルジネーターの法則として、自由な古典的サブオルジネーターの類似物である自由正則測度を導入し、その性質を特徴づける。このクラスが自由乗法的コピュラ、ブールおよび自由乗法的べき、弱収束に関して閉じていることを証明し、対称分布が自由に無限に分割可能であることと、その平方が自由ポアソン分布と自由正則測度の自由乗法的コピュラとして表せることが同値であることを確立する。これにより、古典的および自由の両方の合成に関して無限に分割可能な分布の新しい例が得られる。

ABSTRACT

We study the freely infinitely divisible distributions that appear as the laws of free subordinators. This is the free analog of classically infinitely divisible distributions supported on [0,\infty), called the free regular measures. We prove that the class of free regular measures is closed under the free multiplicative convolution, t-th boolean power for $0\leq t\leq 1$, t-th free multiplicative power for $t\geq 1$ and weak convergence. In addition, we show that a symmetric distribution is freely infinitely divisible if and only if its square can be represented as the free multiplicative convolution of a free Poisson and a free regular measure. This gives two new explicit examples of distributions which are infinitely divisible with respect to both classical and free convolutions: χ^2(1) and F(1,1). Another consequence is that the free commutator operation preserves free infinite divisibility.

研究の動機と目的

• 自由正則測度と呼ばれる、非負の台を持つ自由Lévy過程の法則として、古典的サブオルジネーターの自由版を定義し、それらを研究すること。
• 自由正則測度が自由乗法的コピュラ、ブールおよび自由乗法的べき、弱収束に関して閉じていることを確立すること。
• 対称な自由に無限に分割可能な分布を、その平方が自由ポアソン分布と自由正則測度の自由乗法的コピュラとして表せるという構造的特徴づけによって同定すること。
• この枠組みから、$\chi^2(1)$ や $F(1,1)$ のような、古典的および自由の両方の合成に関して無限に分割可能な明示的な新しい例を特定すること。

提案手法

• 論文は、非負のドリフトおよび $(0,\infty)$ に台を持つLévy測度を伴うLévy-Khintchine表現を用いて、自由正則測度をVoiculescuのR変換および自由コマリントランスフォームによって特徴づける。
• 古典的および自由の無限に分割可能性を関連付けるために、Bercovici-Pataの双対写像 $\Lambda$ を用い、$[0,\infty)$ に台を持つ測度に焦点を当てる。
• モーメントおよびコマリントランスフォームの表現に、非交叉分割の計算を用いる。特に、偶数次元要素およびその平方に対して注目する。
• 単純な場合から一般の自由に無限に分割可能な対称分布への結果の拡張のために、複合自由ポアソン測度による近似を用いる。
• 自由乗法的コピュラに関する閉包性の証明には、自由乗法的コピュラの性質および自由コマリントランスフォームの構造を応用する。
• 自由交換子作用素が自由に無限に分割可能性を保存することを、偶数次モーメントおよび対称な複合自由ポアソン近似に還元することで活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由確率論における古典的サブオルジネーターの類似物は何か。また、自由コマリントランスフォームを用いてどのように特徴づけられるか。
• RQ2 自由正則測度のクラスは、自由乗法的コピュラ、ブールべき、および $t \geq 1$ の自由乗法的べきに関して閉じているか。
• RQ3 対称な自由に無限に分割可能な分布は、その平方が自由コピュラの観点からどのような構造を持つと特徴づけられるか。
• RQ4 この枠組みから、古典的および自由の両方の合成に関して無限に分割可能な明示的な新しい例をどのように構成できるか。
• RQ5 自由交換子作用素は自由に無限に分割可能性を保存するか。もしそうならば、その理由は何か。

主な発見

• 自由正則測度のクラスは、自由乗法的コピュラ $\boxtimes$、$0 \leq t \leq 1$ のブールべき $\mu^{\uplus t}$、$t \geq 1$ の自由乗法的べき $\mu^{\boxplus t}$ および弱収束に関して閉じている。
• 対称な分布 $\mu$ が自由に無限に分割可能であることと、$\mu^2 = \delta_m \boxtimes \rho$ を満たす自由ポアソン $\delta_m$ と自由正則測度 $\rho$ が存在することは同値であり、構造的特徴づけが確立される。
• $\chi^2(1)$ および $F(1,1)$ の分布は、古典的および自由の両方の合成に関して無限に分割可能であることが明示的に示され、新しい例が得られる。
• 自由交換子作用素は、対称な複合自由ポアソン測度による近似および自由コマリントランスフォームが偶数次モーメントに依存することを根拠に、自由に無限に分割可能性を保存する。
• 任意の自由正則測度 $\mu$ に対して、$X,Y$ が自由で、自由に無限に分割可能かつ自由正則法則に従うとき、$X^{1/2}YX^{1/2}$ の分布もまた自由正則である。これは古典的ケースでは成り立たない性質である。
• 対称な自由に無限に分割可能な分布の平方は、自由正則Lévy測度を持つ複合自由ポアソン分布として表され、この表現は弱収束の極限においても保存される。