[論文レビュー] On the law of the supremum of Lévy processes

Loïc Chaumont|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Lévy過程 $X$ の上界 $\overline{X}_t = \sup_{s\leq t} X_s$ の分布の絶対連続性に関する必要十分条件を確立し、0 が $(-\infty,0)$ および $(0,\infty)$ の両方に対して正則であるとき、これがリゾルベント測度の絶対連続性と同値であることを示している。主な手法は、反射過程のエクストリュージョン理論と入射法則を用いて $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ の同時分布を導出し、ブラウン運動にドリフトを加えた場合や対称的カウチ過程に対して明示的な計算を可能にしている。

ABSTRACT

We show that the law of the overall supremum $\bar{X}_t=\sup_{s\le t}X_s$ of a Lévy process $X$ before the deterministic time $t$ is equivalent to the average occupation measure $μ_t(dx)=\int_0^t\p(X_s\in dx)\,ds$, whenever 0 is regular for both open halflines $(-\infty,0)$ and $(0,\infty)$. In this case, $\p(\bar{X}_t\in dx)$ is absolutely continuous for some (and hence for all) $t>0$, if and only if the resolvent measure of $X$ is absolutely continuous. We also study the cases where 0 is not regular for one of the halflines $(-\infty,0)$ or $(0,\infty)$. Then we give absolute continuity criterions for the laws of $(\bar{X}_t,X_t)$, $(g_t,\bar{X}_t)$ and $(g_t,\bar{X}_t,X_t)$, where $g_t$ is the time at which the supremum occurs before $t$. The proofs of these results use an expression of the joint law $\p(g_t\in ds,X_t\in dx,\bar{X}_t\in dy)$ in terms of the entrance law of the excursion measure of the reflected process at the supremum and that of the reflected process at the infimum. As an application, this law is made (partly) explicit in some particular instances.

研究の動機と目的

• Lévy過程 $X$ の決定的時刻 $t$ における上界 $\overline{X}_t$ の分布の絶対連続性に関する必要十分条件を特定すること。
• これらの基準を $g_t$（最後の最大値の時刻）を含む $(g_t, \overline{X}_t)$ および $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ の同時分布へと拡張すること。
• エクストリュージョン理論を用いて、$(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ の同時分布 $\mathbb{P}(g_t \in ds, \overline{X}_t \in dx, \overline{X}_t - X_t \in dy)$ の明示的表現を提供すること。
• ブラウン運動にドリフトを加えた場合や対称的カウチ過程などの特定のケースにおいて、$(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ の三重組の分布を回復し、明示的にすること。

提案手法

• 本稿は、$X_t$ の分布が $\mathbb{R}_+$ に倣うことと、最小値における反射過程のエクストリュージョンの入射法則との間の同値性を用いる。
• $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ の同時分布は、$q_s^*(dx) q_{t-s}(dy) \mathbf{1}_{[0,t]}(s) \, ds$ の形に表現され、ここで $q_s^*$ と $q_{t-s}$ はそれぞれ最大値および最小値における入射法則である。
• 解析は、上界および下界における反射過程のエクストリュージョン理論に依拠し、特に $q_t^*$ および $q_t$ と呼ばれる入射法則に依存している。
• 正則でない場合に対しても、定理6により、正則な場合の一般化された同時分布表現が得られる。
• 本手法は、$\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ の絶対連続性がリゾルベント測度 $U(dx)$ の絶対連続性と同値であることを示す。
• 複合ポアソン過程の場合は、巡回的交換可能なマルコフ連鎖と弱記録に関する重要な補題を用いて別個に取り扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy過程 $X$ の上界 $\overline{X}_t$ の分布が絶対連続であるための条件は何か？
• RQ2 リゾルベント測度 $U(dx)$ の絶対連続性と $\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ の絶対連続性の関係は何か？
• RQ3 0 が両方の半直線に対して正則であるLévy過程において、$(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ の同時分布 $\mathbb{P}(g_t \in ds, \overline{X}_t \in dx, X_t \in dy)$ の明示的形は何か？
• RQ4 ブラウン運動にドリフトを加えた場合や対称的カウチ過程などの特定のケースにおいて、$(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ の同時分布を明示的に得られるか？
• RQ5 最大値および最小値におけるエクストリュージョンの入射法則は、$\overline{X}_t$ の分布を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 0 が $(-\infty,0)$ および $(0,\infty)$ の両方に対して正則であるとき、$\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ の絶対連続性はリゾルベント測度 $U(dx)$ の絶対連続性と同値である。
• 同じ正則性条件下で、$\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ は平均局在測度 $\mu_t^+(dx) = \int_0^t \mathbb{P}(X_s \in dx) \, ds$ と等価である。
• ブラウン運動にドリフトを加えた場合、入射法則の表現を用いて、$(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ の同時分布が明示的に導出されている。
• 対称的カウチ過程に対しても、同じ手法により $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ の三重組の分布が明示的に得られている。
• 離散的Lévy測度を持つ複合ポアソン過程の場合は、ハートマン＝ウィンターの定理により、$\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ は連続特異的であるが、絶対連続ではない。
• スペクトラルに負のLévy過程に対しては、導出された入射法則フレームワークを用いて、$(g_t, \overline{X}_t)$ の同時分布が計算可能である。