[論文レビュー] On the Lax pairs of the sixth Painleve' equation

Robert Conte|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、6番目のパンルベ方程式（P6）のための正則行列Laxペアの構築を検討し、既存の行列等モノドロミー形式において、モノドロミー指数の一つに正則的でない（meromorphic）依存性を示すという主要な限界を克服することを目的としている。LのKimura型アンザッツを提案することで、パラメータθj について正則的依存性と、u, u', x について有理的依存性を両立させることを目的としており、未解決の課題である完全に正則的かつ有理的行列Laxペアの構築への道筋を示している。

ABSTRACT

The dependence of the sixth equation of Painleve' on its four parameters $(2 α,-2 β,2 γ,1-2 δ) =(θ_{\infty}^2,θ_{0}^2,θ_{1}^2,θ_{x}^2)$ is holomorphic, therefore one expects all its Lax pairs to display such a dependence. This is indeed the case of the second order scalar ``Lax'' pair of Fuchs, but the second order matrix Lax pair of Jimbo and Miwa presents a meromorphic dependence on $θ_\infty$ (and a holomorphic dependence on the three other $θ_j$). We analyze the reason for this feature and make suggestions to suppress it.

研究の動機と目的

• P6のJimbo-Miwa行列Laxペアにおいてθ∞に正則的でない（meromorphic）依存性を示す問題を解消すること。これはP6自体の正則的パラメータ依存性と矛盾する。
• すべての4つのモノドロミー指数θj = (θ∞, θ0, θ1, θx) について正則的であるようなP6の2階行列Laxペアを構築すること。
• Jimbo-Miwa構成法を超えたLax行列Lの代替アンザッツを検討すること。特に、先行研究で示唆されたtの線形項を組み込むこと。
• 得られた行列Laxペアが、u, u', x について有理的依存性を保ちつつ、θjパラメータについて正則的である条件を同定すること。

提案手法

• Lax行列LにKimura型アンザッツを採用し、L = -Mx/(t-x) + m M∞ と仮定する。ここでmは決定すべき関数である。
• tに関するODE系を通じてモノドロミー行列Mを定義する。M∞は定数であり、M0, M1, Mxは特定の交換関係を満たす。
• 整合性を保つために、変数zjのt微分と発展方程式との整合性を要求することで、系の閉じる条件（closure conditions）を課す。これにより可積分性が保証される。
• 行列系とスカラーFuchs型形式を結ぶために、可換性条件 X = Sx + Cttt + CSt + 2CtS = 0 を用いてスカラーLaxペアを特定する。
• t = uにおける仮想特異点がFuchs指数の差が3（標準的P6では2）となるように制約を課すことで、標準的P6 Laxペアとは異なる系を特徴づける。
• 一貫性を保つために、F(z∞, u∞, θ∞, u0, θ0, ux, θx, u, x, e^{iφ}) = 0 という多項式関係Fが満たされなければならない。Fは各変数について2次である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜJimbo-Miwa行列Laxペアは、P6自体が正則的パラメータ依存性を示すにもかかわらず、θ∞に正則的でない（meromorphic）依存性を示すのか？
• RQ2 すべての4つのモノドロミー指数θjについて正則的であるようなP6の2階行列Laxペアを構築することは可能か？
• RQ3 Lax行列形式において、θjについて正則的依存性と、u, u', x について有理的依存性を両立させることは可能か？
• RQ4 Jimbo-Miwa構成法を超えた、Lax行列Lの代替アンザッツは何か？正則的かつ有理的行列Laxペアを達成するためのものである。
• RQ5 Kimura型系の仮想特異点構造と標準的P6 Laxペアとの間の変換が、得られるLaxペアの性質にどのように影響するか？

主な発見

• Jimbo-Miwa行列Laxペアは、P6方程式自体が正則的パラメータ依存性を示すにもかかわらず、θ∞に正則的でない（meromorphic）依存性を示す。
• LのKimura型アンザッツにより、すべてのθjについて正則的依存性を持つ系が得られるが、その結果得られる行列要素はu', u, x について代数的関数であり、有理的関数ではない。
• t = uにおける単一の仮想特異点の条件から、Fuchs指数の差が3（標準的P6では2）となる。これは、標準的P6とは異なる基礎となるODE構造を示唆している。
• 一貫性は、z∞, u∞, θ∞, u0, θ0, ux, θx, u, x, 角度φ を含む多項式関係F = 0 によって保証され、この関係を解くことで系が閉じる。
• 得られた行列Laxペアは、標準的スカラーP6 Laxペアに双正則変換で変換できないため、異なる解空間を持つことが示唆される。
• 本稿は、θjについて正則的であり、u, u', x について有理的であるような行列Laxペアを達成するためには、tの線形項を含むような新たなアンザッツが必要であると結論づける。