[論文レビュー] On the leafwise cohomology and dynamical zeta functions for fiber bundles over the circle

Junhyeong Kim|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、円周上への曲面バンドルにおける葉境界コホモロジーおよび力学的ゼータ関数の正則化行列式について明示的な公式を提示し、関数等式と特別値の公式を確立する。これはデンジャーの予想的力学的リーマン・トレース公式を、明確な幾何的設定で実現したものであり、ファイバーのコホモロジー上のモノドロミー作用を通じて横断的力学とコホモロジカル不変量を結びつける。

ABSTRACT

In this paper, we give concrete descriptions of leafwise cohomology groups and show the regularized determinant expression of the dynamical zeta function for fiber bundles over $S^{1}$. As applications, we show a functional equation and some formulas for special values of the dynamical zeta function.

研究の動機と目的

• 1次元余次元の foliation を備えた $S^1$ 上のファイバー・バンドルについて、葉境界コホモロジー群を明示的に記述すること。
• この幾何的設定において、力学的ゼータ関数の正則化行列式表現を導出すること。
• コホモロジーの双対性を用いて、力学的ゼータ関数の関数等式を確立すること。
• モノドロミー作用の固有値分解とリーマン数を用いて、ゼータ関数の特別値を計算すること。
• foliated geometry の文脈において、デンジャーの予想的力学的リーマン・トレース公式を具体的に実現すること。

提案手法

• 閉じた曲面 $S$ 上の微分同相写像 $\varphi$ のサスペンションを用いて、$S^1$ 上のファイバー・バンドル $M$ を構成し、1次元余次元の foliation $\mathcal{F}$ を誘導する。
• 葉境界コホモロジー $H^i_{\mathcal{F}}(M)$ を、$H^i(S, \mathbb{C})$ とモノドロミー作用 $\varphi^*$ を用いて表現する。
• リーマン固定点定理を適用し、$S$ 上の $\mathbb{Z}$-作用の周期的軌道と力学的ゼータ関数 $\zeta(M;s)$ を関連付ける。
• 正則化行列式表現 $\zeta(M;s) = \prod_{i=0}^d \det(1 - \varphi^* r^{-s} \mid H^{d-i}(S,\mathbb{C}))^{(-1)^{i+1}}$ を導出する。
• ポincare双対性とモノドロミー作用の対称性を用いて、関数等式 $\zeta(M;s) = (-r^s)^{\chi(S)} \zeta(M;-s)$ を証明する。
• モノドロミー $\varphi^*$ の固有値分解を用いて特別値を計算し、それらを $\varphi^m$ のリーマン数 $\Lambda(\varphi^m)$ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円周上への曲面バンドルの葉境界コホモロジー群は、ファイバーのコホモロジーを用いてどのように明示的に記述できるか？
• RQ2 この設定における力学的ゼータ関数の正則化行列式表現は何か？
• RQ3 力学的ゼータ関数は関数等式を満たすか？ もしそうなら、その対称性は何か？
• RQ4 ゼータ関数の特別値は、モノドロミーの反復写像のリーマン数とどのように関係しているか？
• RQ5 デンジャーの予想的力学的リーマン・トレース公式は、この例において具体的に実現可能か？

主な発見

• 葉境界コホモロジー群 $H^i_{\mathcal{F}}(M)$ は、ベクトル空間として $H^i(S, \mathbb{C})$ に同型であり、無限小生成子 $\Theta$ はモノドロミー $\varphi^*$ を通じて作用する。
• 力学的ゼータ関数は正則化行列式表現 $\zeta(M;s) = \prod_{i=0}^d \det(1 - \varphi^* r^{-s} \mid H^{d-i}(S,\mathbb{C}))^{(-1)^{i+1}}$ を持つ。
• ゼータ関数は関数等式 $\zeta(M;s) = (-r^s)^{\chi(S)} \zeta(M;-s)$ を満たし、$\mathrm{Re}(s) = 0$ を中心に対称である。
• $s = k$ における $\zeta(M;s)$ の位数は、$\mathrm{ord}_{s=k}\zeta(M;s) = \sum_i (-1)^{i+1} \dim(H^i_{\mathcal{F}}(M)^{\Theta \sim k})$ で与えられる。
• $s = k$ における特別値は、$\zeta(M;k)^* = (\log r)^{\mathrm{ord}_{s=k}\zeta(M;s)} \exp\left(\sum_{m \geq 1} \frac{r^{-km} \Lambda(\varphi^m) + \mathrm{ord}_{s=k}\zeta(M;s)}{m}\right)$ である。
• リーマン数 $\Lambda(\varphi^m) = \sum_i (-1)^i \mathrm{tr}(\varphi^{m*} \mid H^i(S))$ は、ゼータ関数の特別点における対数微分を完全に決定する。