[論文レビュー] On the Lebesgue Constant of Weighted Leja Points for Lagrange Interpolation on Unbounded Domains

Peter Jantsch, Clayton Webster+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2016

Numerical methods in engineering参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非有界領域におけるラグランジュ補間に用いられる重み付きレジャーポイントのルベーグ定数が、補間ノード数に対して指数的より小さい速度で増大することを確立している。重み付きポテンシャル理論および直交多項式の道具を用いて、著者たちは、重み付きレジャーポイントの再帰的構成が、指数的増大より遅い安定した補間を保証することを証明しており、高次元近似スキームへの応用を支持している。

ABSTRACT

This work focuses on weighted Lagrange interpolation on an unbounded domain, and analyzes the Lebesgue constant for a sequence of weighted Leja points. The standard Leja points are a nested sequence of points defined on a compact subset of the real line, and can be extended to unbounded domains with the introduction of a weight function $w:\mathbb{R} ightarrow [0,1]$. Due to a simple recursive formulation in one dimension, such abscissas provide a foundation for high-dimensional approximation methods such as sparse grid collocation, deterministic least squares, and compressed sensing. Just as in the unweighted case of interpolation on a compact domain, we use results from potential theory to prove that the Lebesgue constant for the Leja points grows subexponentially with the number of interpolation nodes.

研究の動機と目的

• 非有界領域におけるラグランジュ補間における重み付きレジャーポイントのルベーグ定数の増大挙動を分析すること。
• ポテンシャル理論および直交多項式理論を用いて、ルベーグ定数の理論的上限を確立すること。
• スパースグリッドや圧縮センシングなどの高次元近似手法における重み付きレジャーポイントの使用を支援すること。
• 重み付きレジャーポイントの漸近的フェケテ性が、ルベーグ定数の非指数的増大を示すことの関係を示すこと。

提案手法

• 著者たちは、重み付き距離積の最大化により再帰的に重み付きレジャーポイントを定義する：$ x_n = \arg\max_{x\in\mathbb{R}} \left(w(x) \prod_{j=0}^{n-1} |x - x_j| \right) $。
• 彼らは、コンパクト集合上でのフェケテ点の均衡測度と離散的レジャーポイント測度との関係を重み付きポテンシャル理論を用いて関係づける。
• 証明は、$ n \to \infty $ のとき、正規化されたルベーグ測度 $ \mu_n = \frac{1}{n+1} \sum_{j=0}^n \delta_{x_{n,j}} $ が均衡測度に弱-*収束することに依存する。
• 間隔推定は、再帰的分離補題を用いて導出され、近接する点は少なくとも $ \sim \frac{s}{Cn} $ 以上に分離されていることが示される。ここで $ s $ はインデックスの差である。
• 漸近的ポテンシャル理論と、各レジャーポイントの $ \delta $-近傍内での局所的点密度に関する明示的推定を組み合わせた分析が行われる。
• 重要なステップとして、スターリングの近似と関数 $ x^x $ を用いて、近隣点への距離積の下界を評価し、その積の $ n $ 乗根に対する下界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界領域における重み付きレジャーポイントのルベーグ定数は、ノード数に対して非指数的増大を示すか？
• RQ2 ポテンシャル理論を用いて、非有界領域における重み付き補間のルベーグ定数の増大上限を確立できるか？
• RQ3 重み付きレジャーポイントの漸近的フェケテ性は、ルベーグ定数の増大率とどのように関係するか？
• RQ4 点の間隔は、重み付きレジャーシーケンスのルベーグ定数の制御に果たす役割は何か？

主な発見

• 重み付きレジャーポイントのルベーグ定数は、補間ノード数に対して非指数的増大を示す。
• 証明は、重み付きレジャーポイントに関連する離散測度が、フェケテ点の均衡測度に弱-*収束することに依存する。
• 間隔補題により、任意のレジャーポイントの $ \delta $-近傍内にある点は、少なくとも $ \sim \frac{s}{Cn} $ 以上に分離されていることが保証される。ここで $ s $ はインデックス差である。
• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ \delta > 0 $ および $ N \in \mathbb{N} $ が存在し、$ n > N $ のとき、近隣点への距離積が $ \left( \prod_{|x_{n,k}-x_{n,j}|<\delta} |x_{n,k}-x_{n,j}| \right)^{1/n} > 1 - \varepsilon $ を満たす。
• この結果は、重み付きレジャーポイントがネスト構造が明確で安定的かつ適切に分離されているため、高次元補間に適していることを確認している。