[論文レビュー] On the Lebesgue measure of the Julia set of a quadratic polynomial

Mikhail Lyubich|arXiv (Cornell University)|May 28, 1991

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 47

ひとこと要約

この論文は、無理数的包合周期点をもたず、無限再帰的でもない場合、二次多項式 $ z^2 + a $ のジュリア集合がLebesgue測度零であることを証明する。Yoccozの分割と一般化された多項式的写像の構成を用いて、著者らは、臨界テーブルの非周期性がモジュラス推定と極値長さの不等式を介して零測度を示すことを示し、McMullenの立方多項式に対する結果を二次の場合に拡張する。

ABSTRACT

The goal of this note is to prove the following theorem: Let $p_a(z) = z^2+a$ be a quadratic polynomial which has no irrational indifferent periodic points, and is not infinitely renormalizable. Then the Lebesgue measure of the Julia set $J(p_a)$ is equal to zero. As part of the proof we discuss a property of the critical point to be {\it persistently recurrent}, and relate our results to corresponding ones for real one dimensional maps. In particular, we show that in the persistently recurrent case the restriction $p_a|ω(0)$ is topologically minimal and has zero topological entropy. The Douady-Hubbard-Yoccoz rigidity theorem follows this result.

研究の動機と目的

• 特定の力学的条件下での二次多項式 $ p_a(z) = z^2 + a $ のジュリア集合のLebesgue測度を確立すること。
• McMullenの立方多項式に対する零測度結果を二次設定に拡張すること。
• 臨界点の持続的再帰とそのトポロジー的最小性およびエントロピーへの影響を介して、力学的挙動を特徴付けること。
• ジュリア集合上に可測な不変線形フィールドが存在しないことにより、$ p_a $ の剛性を証明すること。

提案手法

• Yoccozの分割と臨界イテレートを用いて、$ p_a $ の力学から一般化された多項式的写像 $ g $ を構成する。
• 調和関数のDirichlet積分の逆数を用いて、多重連結領域 $ A = D \setminus K $ のモジュラス $ \mu(A) $ を定義する。
• テーブル技法を用いて臨界部の逆像を整理し、モジュラス $ \mu^n_k $ の再帰関係を導出する。ここで $ \mu^{n-1}_{k+1} = \mu^n_k $ または $ 2\mu^n_k $ であり、臨界性に応じて異なる。
• Grötzschの不等式と等周不等式を用いて、$ \mu(A(x)) \geq \sum \mu(A^n(x)) = \infty $ を示し、$ \bigcap V^n(x) $ が一点であることを示す。
• 持続的再帰と、非周期的臨界テーブルをもつ多項式的写像 $ g $ の存在との間に関係を確立する。
• 不等式 $ \lambda(D)/\lambda(K) \geq 1 + 4\pi\mu(A) $ を用いて、$ \sum \mu(A^n(x)) = \infty $ ならば $ \lambda(K(g)) = 0 $ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次多項式 $ p_a(z) = z^2 + a $ のジュリア集合がLebesgue零測度となる力学的条件は何か？
• RQ2 臨界点の持続的再帰は、ジュリア集合のトポロジー的構造と測度にどのように関係するか？
• RQ3 多重連結領域のモジュラスを用いて、多項式的写像のジュリア集合が零測度であることを証明できるか？
• RQ4 臨界テーブルの非周期性と、ジュリア集合の内部のトポロジー的構造との関係は何か？
• RQ5 可測な不変線形フィールドが存在しないことは、$ p_a $ の剛性にどのように関連するか？

主な発見

• 多項式 $ p_a $ が無理数的包合周期点をもたず、無限再帰的でもない限り、ジュリア集合 $ J(p_a) $ のLebesgue測度は零である。
• 臨界テーブルが非周期的であるとき、構成された多項式的写像 $ g $ の空きジュリア集合 $ K(g) $ は、Lebesgue測度零のカントール集合である。
• 臨界点の持続的再帰は、$ p_a|\omega(0) $ がトポロジカルに最小的であり、ゼロのトポロジカルエントロピーを持つことを示唆する。
• モジュラス推定 $ \lambda(D)/\lambda(K) \geq 1 + 4\pi\mu(A) $ により、$ \sum \mu(A^n(x)) = \infty $ ならば測度零が得られ、これは非周期性のもとで成立する。
• 臨界テーブルが非周期的であることは、$ \bigcap V^n(x) $ がシングルトンであることを示し、$ K(g) $ がカントール集合構造をとることを確認する。
• 可測な不変線形フィールドがジュリア集合上に存在しないことにより、$ p_a $ の剛性が導かれる。これは、ジュリア集合またはファトウ集合上で変形が不可能であることを意味する。