[論文レビュー] On the length and depth of finite groups (with an appendix by D.R. Heath-Brown)

Timothy C. Burness, Martin W. Liebeck+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限群の深さ3および4を分類し、有限単純群の深さと長さに関する先行研究を拡張する。長さが9以下の単純群の完全な分類を提供し、数論的結果を用いて長さ≤9の非アーベル単純群が無限に存在することを証明し、$ G/R(G) $ の長さに対する $ \mathrm{cd}(G) $ に関する線形上限を確立する。また、単純群の鎖比に対する最良の下界も示している。

ABSTRACT

An unrefinable chain of a finite group $G$ is a chain of subgroups $G = G_0 > G_1 > \cdots > G_t = 1$, where each $G_i$ is a maximal subgroup of $G_{i-1}$. The length (respectively, depth) of $G$ is the maximal (respectively, minimal) length of such a chain. We studied the depth of finite simple groups in a previous paper, which included a classification of the simple groups of depth $3$. Here we go much further by determining the finite groups of depth $3$ and $4$. We also obtain several new results on the lengths of finite groups. For example, we classify the simple groups of length at most $9$, which extends earlier work of Janko and Harada from the 1960s, and we use this to describe the structure of arbitrary finite groups of small length. We also present a number-theoretic result of Heath-Brown, which implies that there are infinitely many non-abelian simple groups of length at most $9$. Finally we study the chain difference of $G$ (namely the length minus the depth). We obtain results on groups with chain difference $1$ and $2$, including a complete classification of the simple groups with chain difference $2$, extending earlier work of Brewster et al. We also derive a best possible lower bound on the chain ratio (the length divided by the depth) of simple groups, which yields an explicit linear bound on the length of $G/R(G)$ in terms of the chain difference of $G$, where $R(G)$ is the soluble radical of $G$.

研究の動機と目的

• 深さ3および4のすべての有限群を分類し、有限単純群の深さに関する先行研究を拡張すること。
• ジャンコとハラダの1960年代の研究に基づき、小長さの有限単純群の分類を拡張すること。
• 小長さの単純群の分類を用いて、任意の有限群の小長さにおける構造を特定すること。
• 鎖差2の単純群を分類し、ブリュスターらの結果を拡張すること。
• 有限非アーベル単純群の鎖比 $ l(G)/\lambda(G) $ に対する最良の下界を確立し、$ G/R(G) $ の長さに対する $ \mathrm{cd}(G) $ に関する線形上限を導出すること。

提案手法

• 未細分鎖（最大部分群鎖 $ G = G_0 > G_1 > \cdots > G_t = 1 $）を用いて、長さ $ l(G) $ と深さ $ \lambda(G) $（このような鎖の最大および最小の長さ）を定義する。
• 特に合成系列と主系列の構造理論を用いて、深さ3および4の群を分類する。
• 対称群および自己同型群の長さに関する既存の結果（特に、有限群 $ G $ に対して $ l(\mathrm{Aut}(G)) \leq 2l(G) $）を応用する。
• ヘイズ・ブラウンによる $ p \pm 1 $ の素因数の個数に関する数論的結果を用い、無限個の素数 $ p \equiv 5 \pmod{72} $ に対して $ \Omega((p^2-1)/24) \leq 7 $ が成り立つことを示し、長さ≤9の非アーベル単純群が無限に存在することを証明する。
• ハルバースタムとリヒャートの重み付き篩法を用いて、$ \Omega $-関数の値が有界なようなこのような素数の存在を確立する。
• $ l(\mathrm{Soc}(G/R(G))) $ および $ l(\mathrm{Aut}(\mathrm{Soc}(G/R(G)))) $ の上限を用いて、$ l(G/R(G)) $ に対する線形上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 深さがちょうど3である有限群は何か。その構造的特徴は何か。
• RQ2 深さがちょうど4である有限群は何か。それらは単純群やワループロダクトとどのように関係しているか。
• RQ3 長さが7以下のハラダの分類を拡張して、長さが9以下の有限単純群は何か。
• RQ4 鎖差2の単純群は何か。完全に分類可能か。
• RQ5 有限非アーベル単純群の鎖比 $ l(G)/\lambda(G) $ に対する最良の下界は何か。

主な発見

• 深さ3のすべての有限群は、主系列長3の可解群、または表1にリストされた単純群（$ A_p $、$ \mathrm{L}_2(q) $、$ \mathrm{L}_n^\epsilon(q) $、$ ^2B_2(q) $、$ \mathrm{M}_{23} $、ベビーモンスターグループを含む）のいずれかである。
• 深さ4の有限群は、主系列長4の可解群、$ \lambda(G) = 4 $ であるほとんど単純群、または特定の条件を満たす $ T \,\mathrm{twr}_\phi\, S $ の形のねじれワループロダクトのいずれかに分類される。
• 本論文は、長さが9以下のすべての有限単純群を分類し、ハラダによる長さ≤7の群の分類を拡張している。
• ヘイズ・ブラウンの数論的結果（無限個の素数 $ p \equiv 5 \pmod{72} $ に対して $ \Omega((p^2-1)/24) \leq 7 $）を用いて、長さ≤9の非アーベル単純群が無限に存在することが示された。
• $ \mathrm{cd}(G) = l(G) - \lambda(G) $ に対して $ l(G/R(G)) \leq 10 \cdot \mathrm{cd}(G) $ が成り立ち、この上限は最良のものである。
• 有限非アーベル単純群の鎖比 $ l(G)/\lambda(G) $ に対する最良の下界が確立され、$ G/R(G) $ の長さに対する $ \mathrm{cd}(G) $ に関する線形上限が得られた。