[論文レビュー] On the lexicographic representation of numbers

Vincenzo Manca|arXiv (Cornell University)|May 3, 2015

Lexicography and Language Studies参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、0の記号を必要としない位置記数法の可能性を示し、1からkまでの数字からなるアルファベット上の文字列の辞書式順序によって符号化されるゼロを含まないシステムを提案する。この辞書式表現が古典的な位置記数法と同等の本質的性質を保持することを証明し、辞書式表現と標準的な基数k表現との間の明示的な変換アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

It is proven that, contrarily to the common belief, the notion of zero is not necessary for having positional representations of numbers. Namely, for any positive integer $k$, a positional representation with the symbols for $1, 2, \ldots, k$ is given that retains all the essential properties of the usual positional representation of base $k$ (over symbols for $0, 1, 2 \ldots, k-1$). Moreover, in this zero-free representation, a sequence of symbols identifies the number that corresponds to the order number that the sequence has in the ordering where shorter sequences precede the longer ones, and among sequences of the same length the usual lexicographic ordering of dictionaries is considered. The main properties of this lexicographic representation are proven and conversion algorithms between lexicographic and classical positional representations are given. Zero-free positional representations are relevantt in the perspective of the history of mathematics, as well as, in the perspective of emergent computation models, and of unconventional representations of genomes.

研究の動機と目的

• ゼロが位置記数法に不可欠であるという歴史的・数学的仮定に挑戦すること。
• 1からkまでの数字からなるアルファベット上での文字列の辞書式順序が、0の数字を必要とせずに有効な位置記数法として機能できることを示すこと。
• 任意の基数kについて、辞書式表現と古典的基数k表現との間の変換アルゴリズムを形式的に定式化すること。
• この表現が数学の歴史、ゲノム符号化、および非標準的計算モデルに与える影響を検討すること。

提案手法

• S = {a₁, a₂, ..., aₖ} という有限なアルファベットを定義し、記号に数値を割り当てるための関数 ω(aᵢ) = i を導入する。
• S* 上の文字列に対して辞書式順序を用い、短い文字列が長い文字列よりも前に来るようにし、同じ長さの文字列は辞書式順序に従って並べる。これにより、各文字列に一意な位置（インデックス）を割り当てる。
• 任意の文字列の辞書式インデックスを計算するための再帰的公式（式1）と反復的アルゴリズム（式2）を導入し、文字列を自然数に写像する。
• 辞書式列挙を介して文字列と自然数との間の全単射写像を確立し、0を含まない位置記数法を構築する。
• 古典的基数k表現（0からk−1までの数字を使用）との間の変換関数を導出し、形式的証明により正しさを裏付ける。
• この枠組みを歴史的システム（例：プトレマイオスの60進法）および膜計算やゲノム表現などのモデルに応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0の記号を使わずに位置記数法を構築することは可能か？
• RQ2 アルファベット {1, 2, ..., k} 上の文字列の辞書式順序は、自然数の完全かつ一意な位置記数法として機能するか？
• RQ3 辞書式表現と古典的基数k位置記数法との間の正式な変換アルゴリズムは何か？
• RQ4 このゼロを含まないシステムは、ギリシャ人やマヤ文明の歴史的数体系とどのように関係するか？
• RQ5 この表現は、Pシステムなどのゲノム符号化およびエミーネントコンピュテーションモデルにどのような影響を及えるか？

主な発見

• 0の記号を必要とせず、1からkまでの数字のみを用いた位置記数法の体系を構築可能であり、ゼロが位置記数法に論理的に不可欠でないことを示した。
• アルファベット {1, 2, ..., k} 上の有限文字列の辞書式順序は、自然数との間で全単射を形成する。文字列の順序リストにおける位置が、その数値としての値に対応する。
• 本稿では、任意の文字列の辞書式インデックスを計算する再帰的公式（式1）と反復的アルゴリズム（式2）を提供し、文字列から数値への直接変換を可能にした。
• 辞書式表現と古典的基数k表現との間の変換関数を明示的に定義し、形式的証明により数値の等価性が保たれることを示した。
• このシステムは、明示的な0記号を持たないが位置記数法の原理を用いたプトレマイオスの60進法など、歴史的数体系と整合することが示された。
• この枠組みは、膜システム（Pシステム）などの非標準的計算モデルに応用可能であり、DNA配列を辞書式インデックスによって数値として扱うという、ゲノム表現の新しいアプローチを提供する。