[論文レビュー] On the life span of the Schrödinger equation with sub-critical power nonlinearity

Hironobu Sasaki|ArXiv.org|Jul 3, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、小刻みの初期データ $ \varepsilon\varphi $ を持つ1次元非線形シュレーディンガー方程式 $ i\partial_t u + \frac{1}{2}\partial_x^2 u = \lambda|u|^{p-1}u $（$ 2 \leq p < 3 $）の解の生存期間 $ T(\varepsilon) $ に対して鋭い下界を確立する。特化された関数空間における漸近解析とエネルギー推定を用いて、$ \mathrm{Im}\lambda $ および初期データ $ \varphi $ に依存する正の定数によって下から有界であることが示され、$ \liminf_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^{2(p-1)/(3-p)} T(\varepsilon) $ が成立し、従来の推定を改善する。

ABSTRACT

We discuss the life span of the Cauchy problem for the one-dimensional Schrödinger equation with a single power nonlinearity $λ|u|^{p-1}u$ ($λ\in\mathbb{C}$, $2\le p&lt;3$) prescribed an initial data of the form $\varepsilonφ$. Here, $\varepsilon$ stands for the size of the data. It is not difficult to see that the life span $T(\varepsilon)$ is estimated by $C_0 \varepsilon^{-2(p-1)/(3-p)}$ from below, provided $\varepsilon$ is sufficiently small. In this paper, we consider a more precise estimate for $T(\varepsilon)$ and we prove that $\liminf_{\varepsilon o 0}\varepsilon^{2(p-1)/(3-p)}T(\varepsilon)$ is larger than some positive constant expressed only by $p$, $\mathrm{Im}λ$ and $φ$.

研究の動機と目的

• 1次元非線形シュレーディンガー方程式の亜臨界定常非線形性に対する解の生存期間 $ T(\varepsilon) $ の既知の下界を改良すること。
• $ \varepsilon \to 0 $ のときの $ T(\varepsilon) $ の鋭い漸近的推定を確立すること、特に $ 2 \leq p < 3 $ および $ \mathrm{Im}\lambda > 0 $ の場合。
• 爆発時刻が $ \varepsilon^{-2(p-1)/(3-p)} $ より速く縮まないこと、および前因子がゼロから離れていることを証明すること。
• 漸近近似 $ u_a(t,x) $ を用いた解の振る舞いの分析と、特化された関数空間 $ X $ における誤差 $ v = u_a - u $ の制御。

提案手法

• 近似解 $ u_a(t,x) = \varepsilon t^{-1/2} \exp(ix^2/2t) V(s_p(t), x/t) $ を構築し、初期データ $ e^{-i\pi/4}\phi_+ $ を持つ非線形常微分方程式の解 $ V $ を用いる。
• 重み付き $ L^2 $ ノルムを用いて定義される関数空間 $ X $ を導入し、解の正則性と減衰を制御する。
• エネルギー推定と演算子 $ \mathcal{L} = i\partial_t + \frac{1}{2}\partial_x^2 $ を用いて、誤差 $ v = u_a - u $ の事前境界を導出する。
• Gronwallの不等式を用い、$ \|v(t)\|_X $ の積分方程式に、$ u_a $ の減衰推定と残差項 $ R $ を組み合わせる。
• 条件 $ \sup_{0 \leq t \leq T} \|u_a(t) - u(t)\|_X \leq \varepsilon $ を課し、それが $ \varepsilon/2 $ に収縮することを証明し、$ T_B(\varepsilon) $ を超える解の存在を保証する。
• 非線形性が有限時間内に爆発を引き起こすことを保証するため、$ (1+x^2)\varphi \in \Sigma $ および $ \mathrm{Im}\lambda > 0 $ の仮定に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な下界 $ T(\varepsilon) \gtrsim \varepsilon^{-2(p-1)/(3-p)} $ が、正の下界を持つ前因子を伴う鋭い推定に改善可能か？
• RQ2 $ 2 \leq p < 3 $ および $ \mathrm{Im}\lambda > 0 $ の場合に、生存期間 $ T(\varepsilon) $ が $ \liminf_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^{2(p-1)/(3-p)} T(\varepsilon) > 0 $ を満たすか？
• RQ3 漸近的挙動を表す $ u_a(t,x) $ の振る舞いが、真の解の存在時間にどのように影響を与えるか？
• RQ4 真の解と漸近近似の間の誤差を、特化された関数空間におけるエネルギー法を用いて $ \varepsilon $ に一様に制御可能か？

主な発見

• $ \varepsilon^{2(p-1)/(3-p)} T(\varepsilon) \geq \left(\frac{(3-p)B}{2}\right)^{2/(3-p)} $ が任意の $ B \in (0,A) $ に対して成り立つ。ここで $ A = \mathrm{Im}\lambda \cdot \sup_{\xi \in \mathbb{R}} |\widehat{\varphi}(\xi)|^{p-1} $ である。
• $ B \to A $ の極限をとると、$ \liminf_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^{2(p-1)/(3-p)} T(\varepsilon) \geq \left(\frac{(3-p)A}{2}\right)^{2/(3-p)} > 0 $ が得られ、これは $ p $、$ \mathrm{Im}\lambda $、および $ \varphi $ に依存する正の定数である。
• 証明により、$ T(\varepsilon) \geq T_B(\varepsilon) = \left(\frac{(3-p)B}{2\varepsilon^{p-1}}\right)^{2/(3-p)} $ が成り立ち、これは近似 $ u_a $ が特異化する時間である。
• 誤差 $ v = u_a - u $ は関数空間 $ X $ のノルムにおいてGronwallの不等式により制御され、$ \|v(t)\|_X \leq \varepsilon/2 $ が $ \|v\|_X \leq \varepsilon $ の仮定のもとで成り立つ。これにより $ T_B(\varepsilon) $ を超える解の存在が保証される。
• 結果は $ 2 \leq p < 3 $、$ \mathrm{Im}\lambda > 0 $、および $ (1+x^2)\varphi \in \Sigma $ の仮定のもとで成り立ち、初期データの十分な減衰性と正則性を保証する。