[論文レビュー] On the Lifts of Minimal Lagrangian Submanifolds

Sung Ho Wang|ArXiv.org|Sep 26, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ケーラー＝アインシュタイン多様体上の標準ラインバンドルの全空間にカルビィ＝ヤウ構造を構成し、最小ラグランジュ部分多様体がこれらの空間内で特別ラグランジュ部分多様体に引き上げられることを示している。複素射影空間におけるコンパクトな最小ラグランジュ部分多様体の面積に対して一様な下界を確立し、自己双対アインシュタイン4次元多様体内のスーパー最小曲面の引き上げを通じて、$G_2$ および $Spin(7)$ 多様体におけるアソソシエイティブ、コーモノシエイティブ、およびカイレー部分多様体への拡張も行われている。

ABSTRACT

We show the total space of the canonical line bundle $\mathbb{L}$ of a Kahler-Einstein manifold $X^n$ supports integrable $SU(n+1)$ structures, or Calabi-Yau structures. The canonical real line bundle $L \subset \mathbb{L}$ over a minimal Lagrangian submanifold $M \subset X$ is calibrated in this setting and hence can be considered as the special Lagrangian lift of $M$. For the integrable $G_2$ and $Spin(7)$ structures on spin bundles and bundles of anti-self-dual 2-forms on self-dual Einstein 4-manifolds constructed by Bryant and Salamon, minimal surfaces with vanishing complex quartic form (super-minimal) admit lifts which are calibrated, i.e., associative, coassociative or Cayley respectively. The lifts in this case can be considered as the tangential lifts or normal lifts of the minimal surface adapted to the quaternionic bundle structure.

研究の動機と目的

• ケーラー＝アインシュタイン多様体 $X^n$ 上の標準ラインバンドル $\mathbb{L}$ の全空間に、可積分な $SU(n+1)$ 構造を構成すること。
• 最小ラグランジュ部分多様体 $M \subset X$ 上の標準的実ラインバンドル $L \subset \mathbb{L}$ が自己形式的であることを示し、したがって $M$ の特別ラグランジュ引き上げであることを示すこと。
• 標準的ケーラー構造を備えた複素射影空間 $\mathbb{C}P^n$ 内のコンパクトな最小ラグランジュ部分多様体の面積に対して一様な下界を確立すること。
• $G_2$ および $Spin(7)$ 構造への拡張を行い、自己双対アインシュタイン4次元多様体内のスーパー最小曲面がアソソシエイティブ、コーモノシエイティブ、またはカイレー部分多様体に引き上げられることを示すこと。

提案手法

• 標準ラインバンドル $\mathbb{L}$ 上にテータロジカル $(n,0)$-形式 $\Upsilon_0$ を定義し、$d\Upsilon_0 = -i\gamma \wedge \Upsilon_0$ を示す。ここで $\gamma$ は接続1形式のトレースである。
• 径数関数 $f(r)$ を用いて $\mathbb{L}$ 上にヘルミート計量を構成し、全空間の正則体積形式 $\Upsilon = d\Upsilon_0$ が一定長を持ち、計量がケーラーである場合に平行であることを保証する。
• 微分方程式 $c r + \frac{2}{n} f^{\frac{2}{n}+1} \frac{\partial f}{\partial r} = 0$ を導出し、$\Pi$ が閉形式であることを保証する。これにより明示解 $f(r) = \left(-c \frac{n+2}{2} r^2 + c'\right)^{\frac{n}{2n+2}}$ が得られる。
• $X$ 上の $S^1$-バンドル $B \to X$ を最小ラグランジュ部分多様体 $M \subset X$ に引き戻したとき、その接続が平坦であることを示し、$\phi^*(B)$ 上に一意に定義された切断 $s: M \to \phi^*(B)$ が存在することを示す。この切断は $M$ が最小である場合に限り平行である。
• 最小ラグランジュ部分多様体 $M$ の引き上げ $\tilde{M} \subset B \subset \mathbb{L}$ が $\text{Re}(e^{i\theta} \Upsilon)$ によって自己形式的であることを示し、したがって特別ラグランジュ部分多様体であることを証明する。
• 自己双対アインシュタイン4次元多様体内のスーパー最小曲面に対して、$G_2$ および $Spin(7)$ 構造における法線および接線の引き上げが、それぞれアソソシエイティブ、コーモノシエイティブ、またはカイレー部分多様体として自己形式的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー＝アインシュタイン多様体上の標準ラインバンドルは、平行な正則体積形式を持つカルビィ＝ヤウ構造を有するか？
• RQ2 ケーラー＝アインシュタイン多様体内の最小ラグランジュ部分多様体上の実ラインバンドルは自己形式的であり、したがって特別ラグランジュ引き上げであるか？
• RQ3 特別ラグランジュ引き上げの存在は、標準的ケーラー構造を備えた $\mathbb{C}P^n$ 内のコンパクトな最小ラグランジュ部分多様体に対して一様な面積下限を示唆するか？
• RQ4 自己双対アインシュタイン4次元多様体内のスーパー最小曲面は、ブライトンとサラモンの構成による $G_2$ および $Spin(7)$ 多様体内に自己形式的引き上げを有するか？

主な発見

• ケーラー＝アインシュタイン多様体 $X^n$ 上の標準ラインバンドル $\mathbb{L}$ の全空間は、平行な正則体積形式 $\Upsilon = d\Upsilon_0$ を持つカルビィ＝ヤウ構造を備えている。この構造は、$f(r) = \left(-c \frac{n+2}{2} r^2 + c'\right)^{\frac{n}{2n+2}}$ を満たす径数関数 $f(r)$ を用いた計量によって構成される。
• 最小ラグランジュ部分多様体 $M \subset X$ 上の標準的実ラインバンドル $L \subset \mathbb{L}$ は $\text{Re}(e^{i\theta} \Upsilon)$ によって自己形式的であり、したがって $\mathbb{L}$ の特別ラグランジュ部分多様体である。
• 標準的ケーラー構造を備えた複素射影空間 $\mathbb{C}P^n$ 内のコンパクトな最小ラグランジュ部分多様体は、$S^{2n+1}$ 内のそのレジェンドリアン引き上げに等周不等式を適用することで得られる一様な面積下界 $\delta(n) > 0$ を有する。
• 自己双対アインシュタイン4次元多様体 $N$ 内のスーパー最小曲面 $\Sigma$ に対して、法線 bundle $\Omega^\perp$ は $G_2$ 構造下で $\bigwedge^2_-N$ 内のアソソシエイティブ部分多様体である。
• $N \to \mathbb{S}$ のスピンバンドル $\mathbb{S} \to N$ 内の接線および法線引き上げ $\tilde{T}\Sigma$ および $\tilde{N}\Sigma$ は、$Spin(7)$ 構造下でカイレー部分多様体である。
• この構成により、$G_2$ および $Spin(7)$ 多様体内に多数のコンパクトな自己形式部分多様体が存在することを確認した。これは、$S^4$ や $\mathbb{C}P^2$ においてもスーパー最小曲面の引き上げを通じて成立する。