[論文レビュー] On the limit of large girth graph sequences

Gábor Elek|ArXiv.org|Nov 7, 2008

Graph theory and applications参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、最大次数 $ d $ の根付き木上の任意の自己同型不変確率測度が、最大次数 $ d $ の有限グラフ列の局所的弱極限として現れることを証明する。証明は重み付きラベル付き木とエッジマッチング構成を用いて行われ、大サイズのグラフ列が任意のこのような測度を局所極限として実現できることを示し、ボロバーシュとリアオルドンの問いに答えている。

ABSTRACT

We prove that any involution-invariant probability measure on the space of trees with maximum degrees at most d arises as the local limit of a convergent large girth graph sequence. This answers a question of Bollobas and Riordan.

研究の動機と目的

• ボロバーシュとリアオルドンの質問6.8、すなわち、局所極限が木上の任意の自己同型不変測度を実現するようなグラフ列の存在を解明すること。
• 最大次数 $ d $ の根付き木上の任意の自己同型不変測度が、最大次数 $ d $ の有限グラフ列の局所的弱極限として現れることを確立すること。
• このようなグラフ列は漸近的に木に似ており、したがって大サイズの周囲長のグラフ列に対応することを示すこと。
• 与えられた自己同型不変測度を任意の精度で近似する局所的弱位相における有限グラフを構成すること。

提案手法

• 最大次数 $ d $ の根付き可算連結グラフの空間 $ extrm{Gr}_d $ を定義し、根の $ r $-ボールの同型に基づく距離を備える。
• 測度 $ extrm{Gr}_d $ 上の自己同型不変性の概念を導入し、根の辺の方向を反転する自己同型に関して不変であることを要件とする。
• $ r+1 $-ボール上の測度 $ u_n $ の構造をエンコードする有限ラベル付きグラフ $ H $ を、エッジボール上の測度の有理数近似 $ w_ ho $ を用いて構成する。
• 頂点集合 $ Q(A) $ がサイズ $ N w_ ho(A) $ であるエッジレスグラフ $ Q $ を構築し、エッジ重み $ w_ ho(A, L_A, B) $ に従って分割する。
• $ Q(A, L_A, B) $ と $ Q(B, L_B, A) $ の間に双対写像 $ Z_{A,B} $ を用いて辺を追加し、局所構造が制御されたグラフ $ R $ を形成する。
• 最終的なグラフ $ G $ を、ラベル付き根付き木 $ M $ に対応するスーパーノードに $ R $ の頂点をグループ化することで構成し、$ M $ がラベル分離されている場合、スーパーノードの周囲 $ r+1 $-ボールが $ M $ と同型になるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数 $ d $ の根付き木上の任意の自己同型不変確率測度が、最大次数 $ d $ の有限グラフ列の局所的弱極限として現れ得るか？
• RQ2 任意のこのような測度が、大サイズの周囲長のグラフ列の局所極限として実現可能か？
• RQ3 測度が局所的弱位相において有限グラフで近似可能であるための構造的条件は何か？
• RQ4 測度が自己同型不変を満たす場合、それが局所極限として実現可能であるか、そしてそのようなグラフを明示的にどのように構成できるか？

主な発見

• 最大次数 $ d $ の根付き木上の任意の自己同型不変確率測度 $ u $ は、最大次数 $ d $ の有限グラフ列の局所的弱極限として現れる。
• $ r \to \rho $ および $ \rho > 0 $ に対して、すべての $ \beta \to U^{r,d} $ に対して $ |p_G(\beta) - \nu(T(\textrm{Gr}_d, \beta))| < \rho $ を満たす有限グラフ $ G $ が存在する。これは局所的弱位相における近似を示している。
• 構成法により、$ G $ の頂点のうち、非ラベル分離木と同型な $ r+1 $-ボールを持つものの割合は、$ \frac{\rho}{10} + \rho d |U^{r,d}_n| $ で抑えられ、これは任意に小さくできる。
• ラベル分離木 $ M $ に対して、局所的近傍頻度 $ p_G(M) $ は $ \nu(T(\textrm{Gr}_d, M)) $ から $ d\rho $ 以内に近似され、$ \rho $ を小さくすることで誤差を任意に小さくできる。
• 本手法は、有理数重み付きエッジマッチングを用いたラベル付きボール上の構成により、得られるグラフの局所構造が目標測度と任意の精度で一致することを保証する。
• 鍵となる洞察は、自己同型不変性が対称的エッジ重み付きグラフ $ H $ の構築を可能にし、整数スケーリングと双対写像に基づくエッジマッチングにより、そのようなグラフを有限グラフとして実現できることにある。