[論文レビュー] On the limitations of deterministic de-randomizations for online bipartite matching and max-sat

Nicolas Pena, Allan Borodin|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Optimization and Search Problems参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、オンライン二部マッチングおよびmax-sat問題における決定的デランダム化の限界を調査する。並列オンラインアルゴリズムや優先順序入力順序でさえも、二部マッチングでは1/2の近似比を超えることはできず、max-satでは3/4を超えることはできない。この設定では、より良い性能を達成するためにはランダム化が依然として証明可能に不可欠であることを示している。

ABSTRACT

The surprising results of Karp, Vazirani and Vazirani and (respectively) Buchbinder et al are examples where rather simple randomizations provide provably better approximations than the corresponding deterministic counterparts for online bipartite matching and (respectively) unconstrained non-monotone submodular maximization. We show that seemingly strong extensions of the deterministic online computation model can at best match the performance of naive randomization. More specifically, for bipartite matching, we show that in the priority model (allowing very general ways to order the input stream), we cannot improve upon the trivial 1/2-approximation achieved by any greedy maximal matching algorithm and likewise cannot improve upon this approximation by any log n/log log n number of online algorithms running in parallel. The latter result yields an improved log log n - log log log n lower bound for the number of advice bits needed. For max-sat, we adapt the recent de-randomization approach of Buchbinder and Feldman applied to the Buchbinbder et al algorithm for max-sat to obtain a deterministic 3/4-approximation algorithm using width 2n parallelism. In order to improve upon this approximation, we show that exponential width parallelism of online algorithms is necessary (in a model that is more general than what is needed for the width 2n algorithm).

研究の動機と目的

• オンライン二部マッチングおよびmax-satにおいて、ランダム化アルゴリズムの性能を超えることができるかどうかを、オンラインモデルの決定的拡張が可能かどうかを検討すること。
• 並列オンラインアルゴリズム（幅-kモデル）および優先順序モデルが、ランダム化なしで近似比を向上させられる限界を分析すること。
• 並列性やアドバイスを用いたデランダム化が、既知のランダム化アルゴリズムを上回る比を達成できるかどうかを評価すること。
• これらの問題において、ベースライン近似比を超えるために必要な幅またはアドバイスビットの下界を厳密に確立すること。

提案手法

• pBTモデルにおける幅-k並列オンラインアルゴリズムの性能を分析し、定数または多対数的幅では、二部マッチングにおいて1/2を超えることはできないことを示す。
• BuchbinderとFeldmanのデランダム化技術をBuchbinderらのmax-satアルゴリズムに適用し、幅2nで決定的3/4近似を得る。
• max-satにおいて3/4を超える近似を得るには指数的幅が必要であることを示し、Johnsonのアルゴリズムが既に3/4を達成するmax-2-satの正確なケースですら同様である。
• 優先順序モデルを用いて、入力順序の制御が、二部マッチングにおける決定的アルゴリズムのランダム化の欠如を補うことはできないことを示す。
• 非一様max-of-kアルゴリズムをアドバイスベース計算に関連付けることでアドバイス下界を確立し、二部マッチングで1/2を超える近似を得るにはlog log n - log log log nビットを超過する必要があることを示す。
• max-satにおける異なる入力モデル下での決定的アルゴリズムを比較し、部分的および完全な節情報の有無を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式的幅を持つ決定的並列オンラインアルゴリズムは、オンライン二部マッチングにおいて1/2近似比を超えることができるか？
• RQ2 多項式的幅の並列性のみを用いて、max-satの3/4近似アルゴリズムをデランダム化できるか？
• RQ3 オンライン二部マッチングで1/2を超える近似比を得るために、最小の幅またはアドバイスビット数はどれくらいか？
• RQ4 優先順序モデルまたはランダム順序モデルが、決定的アルゴリズムがグリーディ最大マッチングの性能を超えるのを可能にするか？
• RQ5 入力情報（節長さ、重みなど）と、max-satで3/4を超える近似を得るために必要な幅の間のトレードオフは何か？

主な発見

• オンライン二部マッチングにおいて、定数またはO(log n / log log n)幅の並列アルゴリズムでは、優先順序モデルによる完全な入力順序制御があっても、1/2を超える近似は達成できない。
• Buchbinderらのアルゴリズムのデランダム化により、幅2nを用いた決定的3/4近似アルゴリズムが得られる。
• max-satにおいて3/4を超える近似を得るには指数的幅が必要であり、Johnsonのアルゴリズムが既に3/4を達成するmax-2-satの正確なケースでも同様である。
• 情報が制限された入力モデル0では、決定的定数幅アルゴリズムは2/3を超える近似は達成できない。これは、ランダム化または節長さの知識が本質的であることを示している。
• 優先順序モデルは、二部マッチングにおける決定的アルゴリズムが1/2の壁を超えるのを助けない。完全な入力ソーティング機能があっても同様である。
• アドバイス下界が改善された：二部マッチングで1/2を超える近似を得るには、並列オンラインアルゴリズムの制限を考慮すると、log log n - log log log nビットを超過する必要がある。