[論文レビュー] On the limiting distribution of some numbers of crossings in set partitions

Anisse Kasraoui|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、要素数 n が大きくなるにつれて、それぞれ線形および円形表現におけるランダムな集合分割の弧・弦の交差数の漸近的正規性を確立する。母関数と分散分析を用いて、線形の場合 k ≤ n/(2 log n) および円形の場合 k = o(√n) に対して、標準化された交差分布がガウス分布に収束することを証明する。線形ケースでは正確な分散の公式が提示され、全集合分割に対する交差分布の濃縮が観察される。

ABSTRACT

We study the asymptotic distribution of the two following combinatorial parameters: the number of arc crossings in the linear representation, ${\mathrm cr^{(\ell)}$, and the number of chord crossings in the circular representation, ${\mathrm cr^{(c)}$, of a random set partition. We prove that, for $k\leq n/(2\,\log n)$ (resp., ${k=o(\sqrt{n})}$), the distribution of the parameter ${\mathrm cr^{(\ell)}$ (resp., ${\mathrm cr^{(c)}$) taken over partitions of $[n]:=\{1,2,...,n\}$ into $k$ blocks is, after standardization, asymptotically Gaussian as $n$ tends to infinity. We give exact and asymptotic formulas for the variance of the distribution of the parameter ${\mathrm cr^{(\ell)}$ from which we deduce that the distribution of ${\mathrm cr^{(\ell)}$ and ${\mathrm cr^{(c)}$ taken over all partitions of $[n]$ is concentrated around its mean. The proof of these results relies on a standard analysis of generating functions associated with the parameter ${\mathrm cr^{(\ell)}$ obtained in earlier work of Stanton, Zeng and the author. We also determine the maximum values of the parameters ${\mathrm cr^{(\ell)}$ and ${\mathrm cr^{(c)}$.

研究の動機と目的

• 線形集合分割表現における弧の交差数の極限分布を分析すること。
• 円形集合分割表現における弦の交差数の極限挙動を研究すること。
• 線形表現における交差数の正確および漸近的公式を導出すること。
• 線形および円形表現における最大交差数を特定すること。
• すべての [n] の集合分割に対する総交差分布の濃縮を確立すること。

提案手法

• スタントン、ゼン、および著者の先行研究に基づく交差パラメータの母関数を用いる。
• 母関数に対して標準的な漸近的解析を適用し、モーメントと分散を計算する。
• Tn,k(q) = ∑π∈Πₙᵏ q^{cr^(ℓ)(π)} の公式を用いて、k ブロック分割における交差の分布を分析する。
• 連分数展開と有理母関数恒等式を用いて、分散および分布的性質を抽出する。
• 組合せ最適化技術を用いて、両表現における最大交差数を特定する。
• n mod 3 に基づくケース別分析を実施し、最大交差数の位置と値を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな k ブロック分割における線形表現の弧の交差数の極限分布は何か？
• RQ2 n → ∞ のとき、円形表現における弦の交差数の分布は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ3 線形表現における交差数の正確および漸近的公式は何か？
• RQ4 線形および円形表現における集合分割における最大交差数は何か？
• RQ5 すべての [n] の分割の集合における交差分布はどの程度集中しているか？

主な発見

• k ≤ n/(2 log n) の場合、Πₙᵏ 上での cr^(ℓ) の分布は標準化後に漸近的にガウス分布に従う。
• k = o(√n) の場合、Πₙᵏ 上での cr^(c) の分布は標準化後に漸近的にガウス分布に従う。
• cr^(ℓ) の分散に対する正確な公式が導出され、正確な漸近的解析が可能になる。
• すべての [n] の分割における cr^(ℓ) および cr^(c) の分布は、n → ∞ のときその平均のまわりに集中する。
• 線形表現における最大交差数は、k ≥ ⌈n/2⌉ のときに達成され、正確に n−k 個の交差弧を持つ。
• 円形表現における最大交差数は、n ≡ 0 mod 3 のとき M^(c)_n,k = 6⌊n/3⌋²/2 であり、それ以外の場合は類似の式となる。